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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

§ III. — Où l’on applique les formules précédentes aux vibrations d’une corde tendue et chargée de plusieurs corps, et aux oscillations d’un fil inextensible, chargé d’un nombre quelconque de poids et suspendu par ses deux bouts ou par un seulement.

30. Les expressions des variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ que nous venons de trouver se simplifient beaucoup lorsque, dans les équations différentielles de l’article 21, les variables dont il s’agit se trouvent séparées. Alors les variables $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ se trouvent aussi séparées dans les équations aux différences finies de l’article $23\,;$ et chacune de ces équations donne, par le procédé de l’article 24, une équation particulière en $k$ du degré $m.$ Si l’on dénote par $k,\,k_{1},\,k_{2}$ les valeurs des $k$ qui répondent aux quantités $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ données par ces trois équations, et que l’on conserve les dénominations de l’article précédent, les expressions de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ se réduiront, dans le cas précédent, à celles-ci :

${\begin{aligned}&\scriptstyle \xi =\sum \left(\mathrm {X} \mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle X\alpha \,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle X^{2}Dm}} \cos t{\sqrt {k}}\ \ \right)+\sum \left(\ {\frac {\mathrm {X} }{\sqrt {k}}}\ \mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle X{\dot {\alpha }}\,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle X^{2}Dm}} \sin t{\sqrt {k}}\ \ \right),\\&\scriptstyle \eta =\sum \left(\mathrm {Y} \mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle Y\beta \,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle Y^{2}Dm}} \cos t{\sqrt {k_{1}}}\right)+\sum \left({\frac {\mathrm {Y} }{\sqrt {k_{1}}}}\mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle Y{\dot {\beta }}\,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle Y^{2}Dm}} \sin t{\sqrt {k_{1}}}\right),\\&\scriptstyle \zeta \ =\sum \left(\mathrm {Z} \mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle Z\gamma \,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle Z^{2}Dm}} \cos t{\sqrt {k_{2}}}\right)+\sum \left({\frac {\mathrm {Z} }{\sqrt {k_{2}}}}\,\mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle Z{\dot {\gamma }}\,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle Z^{2}Dm}} \sin t{\sqrt {k_{2}}}\right).\end{aligned}}$

31. Ce cas a lieu premièrement lorsque les corps sont supposés placés en ligne droite dans l’état d’équilibre ; car, si l’on prend cette ligne pour l’axe des $x,$ les ordonnées $b$ et $c$ deviennent nulles ainsi que leurs différences $\mathrm {D} b,\,\mathrm {D} c\,;$ et les équations de condition de l’article 0 exigent que l’on ait

${\frac {\partial \Pi }{\partial b}}=0,\qquad {\frac {\partial \Pi }{\partial c}}=0,$