405
SECONDE PARTIE. — SECTION VI.
§ III. — Où l’on applique les formules précédentes aux vibrations d’une corde tendue et chargée de plusieurs corps, et aux oscillations d’un fil inextensible, chargé d’un nombre quelconque de poids et suspendu par ses deux bouts ou par un seulement.
30. Les expressions des variables
que nous venons de trouver se simplifient beaucoup lorsque, dans les équations différentielles de l’article 21, les variables dont il s’agit se trouvent séparées. Alors les variables
se trouvent aussi séparées dans les équations aux différences finies de l’article
et chacune de ces équations donne, par le procédé de l’article 24, une équation particulière en
du degré
Si l’on dénote par
les valeurs des
qui répondent aux quantités
données par ces trois équations, et que l’on conserve les dénominations de l’article précédent, les expressions de
se réduiront, dans le cas précédent, à celles-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle \xi =\sum \left(\mathrm {X} \mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle X\alpha \,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle X^{2}Dm}} \cos t{\sqrt {k}}\ \ \right)+\sum \left(\ {\frac {\mathrm {X} }{\sqrt {k}}}\ \mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle X{\dot {\alpha }}\,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle X^{2}Dm}} \sin t{\sqrt {k}}\ \ \right),\\&\scriptstyle \eta =\sum \left(\mathrm {Y} \mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle Y\beta \,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle Y^{2}Dm}} \cos t{\sqrt {k_{1}}}\right)+\sum \left({\frac {\mathrm {Y} }{\sqrt {k_{1}}}}\mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle Y{\dot {\beta }}\,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle Y^{2}Dm}} \sin t{\sqrt {k_{1}}}\right),\\&\scriptstyle \zeta \ =\sum \left(\mathrm {Z} \mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle Z\gamma \,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle Z^{2}Dm}} \cos t{\sqrt {k_{2}}}\right)+\sum \left({\frac {\mathrm {Z} }{\sqrt {k_{2}}}}\,\mathrm {\frac {\displaystyle S\scriptstyle Z{\dot {\gamma }}\,Dm}{\displaystyle S\scriptstyle Z^{2}Dm}} \sin t{\sqrt {k_{2}}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671c1af892ce6d5afa7cadb2b68202c9238b1683)
31. Ce cas a lieu premièrement lorsque les corps sont supposés placés en ligne droite dans l’état d’équilibre ; car, si l’on prend cette ligne pour l’axe des
les ordonnées
et
deviennent nulles ainsi que leurs différences
et les équations de condition de l’article 0 exigent que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial b}}=0,\qquad {\frac {\partial \Pi }{\partial c}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7a5efe74cd91dbf2b076ea0559b1d54576ccf9)