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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

pour chacune des valeurs $k',\,k'',\,k''',\,\ldots$ de $k\,;$ et comme cette identité doit avoir lieu indépendamment de la valeur de $t,$ il ne sera pas difficile de se convaincre que tous les termes qui contiendront le même arc $t{\sqrt {k}}$ devront être identiques dans le premier et dans le second membre de l’équation ; d’où il suit d’abord qu’on aura nécessairement $\lambda =\varepsilon$ pour toutes les valeurs de $\lambda$ et de $\varepsilon .$

Ensuite, si l’on fait attention à la valeur des signes sommatoires _{$\mathbf {S}$} et $\sum ,$ et dont le premier _{$\mathbf {S}$} représente la somme des quantités sous le signe qui appartiennent à tous les corps du système, et que nous avons dénotées par des nombres placés en forme d’indices au bas des lettres (art. 24), et dont le second $\sum$ représente la somme des quantités semblables qui répondent à toutes les racines $k',\,k'',\,k''',\,\ldots ,\,k^{(3n)},$ et que nous dénotons par des traits supérieurs (art. 25), on trouvera, par la comparaison des termes affectés des mêmes sinus, l’équation

$\mathrm {E}$_{$\mathbf {S}$}$\mathrm {\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)Dm=L} .$

Donc on aura, en général,

$\scriptstyle \mathrm {E} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\varepsilon \right)={\frac {\mathrm {L} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\lambda \right)}{\displaystyle \mathbf {S} \scriptstyle \mathrm {\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)Dm} }}$

et, par conséquent, par l’article 27,

$\scriptstyle \mathrm {E} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\varepsilon \right)={\frac {\displaystyle \mathbf {S} \scriptstyle \mathrm {\left(X\xi +Y\eta +Z\zeta \right)Dm} }{\displaystyle \mathbf {S} \scriptstyle \mathrm {\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)Dm} }},$

équation qui aura lieu pour toutes les valeurs de $k.$

29. Soient maintenant, lorsque $t=0,$

$\xi =\alpha ,\qquad \eta =\beta ,\qquad \zeta =\gamma ,$

et

${\frac {d\xi }{dt}}={\dot {\alpha }},\qquad {\frac {d\eta }{dt}}={\dot {\beta }},\qquad {\frac {d\zeta }{dt}}={\dot {\gamma }}\,;$

ces six quantités seront données par l’état initial du système si donc