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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Donc, en général, on aura

_S$\mathrm {X\,D_{_{'}}(V\,D\xi )} =$_S$\xi \,\mathrm {D_{_{'}}(V\,DX)} ,$

et il en sera de même des termes semblables. Ainsi l’équation précédente deviendra de la forme

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}$_S$(\mathrm {X} \xi +\mathrm {Y} \eta +\mathrm {Z} \zeta )\mathrm {Dm} +$_S$\left[(\mathrm {X} )\xi +(\mathrm {Y} )\eta +(\mathrm {Z} )\zeta \right]=0,$

dans laquelle les quantités désignées par $\mathrm {(X),\,(Y),\,(Z)}$ contiendront les mêmes termes qui composent les seconds membres des équations de l’article 23, de manière que ces équations donneront

$(\mathrm {X} )=k\mathrm {X\,Dm} ,\qquad (\mathrm {Y} )=k\mathrm {Y\,Dm} ,\qquad (\mathrm {Z} )=k\mathrm {Z\,Dm} \,;$

d’où il suit que l’équation ci-dessus deviendra

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}$_S$(\mathrm {X} \xi +\mathrm {Y} \eta +\mathrm {Z} \zeta )\mathrm {Dm} +k$_S$\mathrm {\left(X\xi +Y\eta +Z\zeta \right)Dm} =0,$

laquelle donne tout de suite, par l’intégration,

_S$\mathrm {\left(X\xi +Y\eta +Z\zeta \right)Dm} =\mathrm {L} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\lambda \right),$

$\mathrm {L}$ et $\lambda$ étant deux constantes arbitraires.

28. Il est facile de voir, par la nature du calcul, que, si l’on substitue dans cette équation pour $k$ une des racines de l’équation en $k$ que nous avons dénotées par $k',\,k'',\,k''',\ldots$ (art. 25), on devra avoir un résultat identique avec les expressions de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ de l’article 26, de sorte qu’en substituant ces mêmes expressions dans l’équation précédente, elle devra devenir absolument identique pour toutes les valeurs de $k.$

On aura donc ainsi l’équation identique

_S$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {X} \sum \left[\mathrm {XE} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\varepsilon \right)\right]\\\\+&\mathrm {Y} \sum \left[\mathrm {YE} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\varepsilon \right)\right]\\\\+&\mathrm {Z} \,\sum \left[\mathrm {ZE} \,\sin \left(t{\sqrt {k}}+\varepsilon \right)\right]\end{aligned}}\right\}\mathrm {Dm=L} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\lambda \right),$