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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

27. Pour déterminer ces constantes de la manière la plus simple, je reprends les équations en $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ de l’article 21, et je les ajoute ensemble, après avoir multiplié la première par $\mathrm {X} ,$ la seconde par $\mathrm {Y}$ et la troisième par $\mathrm {Z}$ je prends ensuite la somme de toutes ces équations ainsi composées, relativement à tous les corps du système, et je dénote cette somme par la caractéristique _S ; si l’on fait attention que cette caractéristique est indépendante de la caractéristique $d$ des différentielles relatives à $t,$ on aura l’équation

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}$_S$\mathrm {(X\xi +Y\eta +Z\zeta )Dm}$

$+$_S$\left({\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a^{2}}}\;\mathrm {X} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial b}}\mathrm {Y} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial c}}\mathrm {Z} \right)\xi \,\mathrm {Dm}$

$+$_S$\left({\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial b}}\mathrm {X} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial b^{2}}}\;\mathrm {Y} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial c}}\mathrm {Z} \right)\eta \,\mathrm {Dm}$

$+$_S$\left({\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial c}}\mathrm {X} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial b\partial c}}\mathrm {Y} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial c^{2}}}\;\mathrm {Z} \right)\zeta \,\mathrm {Dm}$

$-$_S$\mathrm {XD_{_{'}}} \left[\operatorname {F} {\frac {\mathrm {D} \xi }{\mathrm {D} f}}-\operatorname {G} a'\left(a'{\frac {\mathrm {D} \xi }{\mathrm {D} f}}+b'{\frac {\mathrm {D} \eta }{\mathrm {D} f}}+c'{\frac {\mathrm {D} \zeta }{\mathrm {D} f}}\right)\right]$

$-$_S$\mathrm {YD_{_{'}}} \left[\operatorname {F} {\frac {\mathrm {D} \eta }{\mathrm {D} f}}\,-\operatorname {G} b'\left(a'{\frac {\mathrm {D} \xi }{\mathrm {D} f}}+b'{\frac {\mathrm {D} \eta }{\mathrm {D} f}}+c'{\frac {\mathrm {D} \zeta }{\mathrm {D} f}}\right)\right]$

$-$_S$\mathrm {ZD_{_{'}}} \,\left[\operatorname {F} {\frac {\mathrm {D} \zeta }{\mathrm {D} f}}\,-\operatorname {G} c'\left(a'{\frac {\mathrm {D} \xi }{\mathrm {D} f}}+b'{\frac {\mathrm {D} \eta }{\mathrm {D} f}}+c'{\frac {\mathrm {D} \zeta }{\mathrm {D} f}}\right)\right]=0.$

Dans cette équation, les termes qui contiennent des différences marquées par $\mathrm {D}$ sous le signe sommatoire _S sont susceptibles de réductions analogues à celles des intégrations par parties, et dont nous avons donné le type dans l’article 16. Pour cela, considérons en général un terme quelconque de la forme _S$\mathrm {XD_{_{'}}(V\,D\xi )} \,;$ nous aurons, par les réductions de l’article cité, en faisant attention que les quantités $\mathrm {X}$ et $\xi$ sont nulles au commencement et à la fin des intégrations marquées par $\mathrm {D}$ (art. 24),

_S$\mathrm {XD_{_{'}}(V\,D\xi )} =-$_S$\mathrm {V\,D\xi \,DX} =$_S$\xi _{_{'}}\mathrm {D(V\,DX)} .$

Or _S$\xi _{_{'}}\mathrm {D(V\,DX)}$ est la même chose que _S$\xi \,\mathrm {D_{_{'}}(V\,DX)} ,$ en prenant à la place du terme $\xi _{_{'}}\mathrm {D(V\,DX)}$ celui qui le précède.