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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

valeurs de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ ne se réduisent aux valeurs particulières qui répondent à une seule des racines $k.$ Dans ce cas, en faisant $t=0$ dans les formules précédentes, on aura $\mathrm {XE} \sin \varepsilon ,$ $\mathrm {YE} \sin \varepsilon ,$ $\mathrm {ZE} \,\sin \varepsilon$ pour les valeurs de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ et $\mathrm {XE} \cos \varepsilon ,$ $\mathrm {YE} \cos \varepsilon ,$ $\mathrm {ZE} \cos \varepsilon ,$ pour celles de ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\eta }{dt}},\,{\frac {d\zeta }{dt}}.$ Ainsi, pour que ce cas puisse avoir lieu, il faudra que les déplacements primitifs $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ ainsi que les vitesses initiales ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\eta }{dt}},\,{\frac {d\zeta }{dt}},$ soient proportionnels à $\mathrm {X,\,Y,\,Z} \,;$ et il y aura autant de manières de satisfaire à ces conditions qu’il y a de valeurs différentes de $k.$

26. Si l’on désigne, par des traits supérieurs, des constantes arbitraires différentes, on aura

${\begin{aligned}\xi =&\mathrm {X'E'} \sin \left(t{\sqrt {k'}}+\varepsilon '\right)+\mathrm {X''E''} \sin \left(t{\sqrt {k''}}+\varepsilon ''\right)+\mathrm {X'''E'''} \sin \left(t{\sqrt {k'''}}+\varepsilon '''\right)+\ldots ,\\\eta =&\mathrm {Y'E'} \sin \left(t{\sqrt {k'}}+\varepsilon '\right)+\mathrm {Y''E''} \sin \left(t{\sqrt {k''}}+\varepsilon ''\right)+\mathrm {Y'''E'''} \sin \left(t{\sqrt {k'''}}+\varepsilon '''\right)+\ldots ,\\\zeta =&\mathrm {Z'E'} \sin \left(t{\sqrt {k'}}+\varepsilon '\right)\,+\mathrm {Z''E''} \sin \left(t{\sqrt {k''}}+\varepsilon ''\right)\,+\mathrm {Z'''E'''} \sin \left(t{\sqrt {k'''}}+\varepsilon '''\right)\,+\ldots ,\end{aligned}}$

pour les valeurs complètes des variables $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ qui représentent les oscillations de chacun des corps du système donné, quel que soit leur état initial.

On peut représenter ces valeurs d’une manière plus simple, en employant le signe $\sum$ pour exprimer la somme de toutes les valeurs correspondantes aux différentes valeurs de $k\,;$ on aura ainsi

${\begin{aligned}\xi =&\sum \left[\mathrm {XE} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\varepsilon \right)\right],\\\\\eta =&\sum \left[\mathrm {YE} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\varepsilon \right)\right],\\\\\zeta =&\sum \left[\mathrm {ZE} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\varepsilon \right)\right],\end{aligned}}$

et l’on aura les expressions particulières des variables $\xi _{1},\,\eta _{1},\,\zeta _{1},$ $\xi _{2},\,\eta _{2},$ $\zeta _{2},\ldots ,$ pour chacun des corps du système, en changeant, dans les précédentes, $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ en $\mathrm {X_{1},\,Y_{1},\,Z_{1}} ,$ $\mathrm {X_{2},\,Y_{2},\,Z_{2}} ,\,\ldots ,$ et prenant pour $\mathrm {E}$ et $\varepsilon$ différentes constantes arbitraires $\mathrm {E_{1},\,E_{2}} ,\,\ldots ,$ $\varepsilon _{1},\,\varepsilon _{2},\,\ldots ,$ qui dépendent de l’état initial du système.