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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

chaque variable soit exprimée par une même fonction de $t,$ multipliée par une quantité différente pour chaque variable.

Si l’on désigne par $\theta$ cette fonction, on fera

$\xi =\theta \mathrm {X} ,\qquad \eta =\theta \mathrm {Y} ,\qquad \zeta =\theta \mathrm {Z} ,$

et, après avoir substitué ces valeurs dans les équations de l’article 21, on verra aisément que, pour vérifier ces équations, il est nécessaire que la variable $\theta$ soit déterminée par une équation de la forme

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+k\theta =0\,;$

car alors, en mettant pour ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$ sa valeur $-k\theta ,$ et divisant tous les termes par $\theta ,$ on aura ces trois équations aux différences finies

${\begin{aligned}k\mathrm {X\,Dm} =&\left({\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a^{2}}}\mathrm {X} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial b}}\mathrm {Y} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial c}}\mathrm {Z} \right)\mathrm {Dm} \\&-\mathrm {D} _{_{'}}\left[\operatorname {F} {\frac {\mathrm {DX} }{\mathrm {D} f}}-\operatorname {G} a'\left(a'{\frac {\mathrm {DX} }{\mathrm {D} f}}+b'{\frac {\mathrm {DY} }{\mathrm {D} f}}+c'{\frac {\mathrm {DZ} }{\mathrm {D} f}}\right)\right],\\k\mathrm {Y\,Dm} =&\left({\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial b}}\mathrm {X} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial b^{2}}}\mathrm {Y} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial b\partial c}}\mathrm {Z} \right)\mathrm {Dm} \\&-\mathrm {D} _{_{'}}\left[\operatorname {F} {\frac {\mathrm {DY} }{\mathrm {D} f}}-\operatorname {G} b'\left(a'{\frac {\mathrm {DX} }{\mathrm {D} f}}+b'{\frac {\mathrm {DY} }{\mathrm {D} f}}+c'{\frac {\mathrm {DZ} }{\mathrm {D} f}}\right)\right],\\k\mathrm {Z\,Dm} =&\left({\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial c}}\mathrm {X} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial b\partial c}}\mathrm {Y} +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial c^{2}}}\mathrm {Z} \right)\mathrm {Dm} \\&-\mathrm {D} _{_{'}}\left[\operatorname {F} {\frac {\mathrm {DZ} }{\mathrm {D} f}}-\operatorname {G} c'\left(a'{\frac {\mathrm {DX} }{\mathrm {D} f}}+b'{\frac {\mathrm {DY} }{\mathrm {D} f}}+c'{\frac {\mathrm {DZ} }{\mathrm {D} f}}\right)\right].\end{aligned}}$

24. L’équation en $\theta$ s’intègre facilement ; elle donne

$\theta =\mathrm {E} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\varepsilon \right),$

$\mathrm {E}$ et $\varepsilon$ étant deux constantes arbitraires.

À l’égard des équations en $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ elles ne sont, en général, intégrables en termes finis, par les méthodes connues, que lorsqu’elles sont à coefficients constants ; mais, si l’on développe les différences finies