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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

19. Supposons que, dans l’état d’équilibre du système, les coordonnées $x,\,y,\,z$ deviennent $a,\,b,\,c,$ et qu’elles soient, dans le mouvement $a+\xi ,\,b+\eta ,$ $c+\zeta ,$ les quantités $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ étant très-petites. La fonction $\Pi$ deviendra $\Pi +{\frac {\partial \Pi }{\partial a}}\xi +{\frac {\partial \Pi }{\partial b}}\eta +{\frac {\partial \Pi }{\partial c}}\zeta .$ Ainsi, en regardant dorénavant $\Pi$ comme une simple fonction de $a,\,b,\,c,$ les trois différences partielles ${\frac {\partial \Pi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \Pi }{\partial y}},\,{\frac {\partial \Pi }{\partial z}}$ pourront s’exprimer ainsi :

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi }{\partial a}}&+\left({\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a^{2}}}\xi \ +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial b}}\eta +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial c}}\zeta \right),\\{\frac {\partial \Pi }{\partial b}}&+\left({\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial b}}\xi +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial b^{2}}}\eta \ +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial b\partial c}}\zeta \right),\\{\frac {\partial \Pi }{\partial c}}&+\left({\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial a\partial c}}\xi +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial b\partial c}}\eta +{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial c^{2}}}\zeta \ \right).\end{aligned}}$

Par les mêmes substitutions de $a+\xi ,\,b+\eta ,\,c+\zeta ,$ au lieu de $x,\,y,\,z,$ les différences $\mathrm {D} x,\,\mathrm {D} y,\,\mathrm {D} z$ deviendront

$\mathrm {D} a+\mathrm {D} \xi ,\qquad \mathrm {D} b+\mathrm {D} \eta ,\qquad \mathrm {D} c+\mathrm {D} \zeta .$

À l’égard de la quantité $\Phi ,$ qui est supposée fonction de $\mathrm {D} s,$ si l’on fait, pour abréger,

$\mathrm {D} f={\sqrt {\mathrm {D} a^{2}+\mathrm {D} b^{2}+\mathrm {D} c^{2}}},$

on aura d’abord

$\mathrm {\mathrm {D} } s=\mathrm {D} f+{\frac {\mathrm {D} a}{\mathrm {D} f}}\mathrm {D} \xi +{\frac {\mathrm {D} b}{\mathrm {D} f}}\mathrm {D} \eta +{\frac {\mathrm {D} c}{\mathrm {D} f}}\mathrm {D} \zeta \,;$

ensuite, si l’on nomme $\operatorname {F}$ ce que devient la fonction $\Phi$ lorsqu’on y change $\mathrm {D} s$ en $\mathrm {D} f,$ et qu’on fasse ${\frac {d\operatorname {F} }{d\,\mathrm {D} f}}={\frac {\operatorname {F} '}{\mathrm {D} f}},$ on aura, par le développement,

$\Phi =\operatorname {F} +\operatorname {F} '\left({\frac {\mathrm {D} a}{\mathrm {D} f}}{\frac {\mathrm {D} \xi }{\mathrm {D} f}}+{\frac {\mathrm {D} b}{\mathrm {D} f}}{\frac {\mathrm {D} \eta }{\mathrm {D} f}}+{\frac {\mathrm {D} c}{\mathrm {D} f}}{\frac {\mathrm {D} \zeta }{\mathrm {D} f}}\right)$

et, par conséquent,

${\frac {\Phi }{\mathrm {D} s}}={\frac {\operatorname {F} }{\mathrm {D} f}}+{\frac {\operatorname {F} '-\operatorname {F} }{\mathrm {D} f}}\left({\frac {\mathrm {D} a}{\mathrm {D} f}}{\frac {\mathrm {D} \xi }{\mathrm {D} f}}+{\frac {\mathrm {D} b}{\mathrm {D} f}}{\frac {\mathrm {D} \eta }{\mathrm {D} f}}+{\frac {\mathrm {D} c}{\mathrm {D} f}}{\frac {\mathrm {D} \zeta }{\mathrm {D} f}}\right).$

20. On fera ces substitutions dans les trois équations trouvées ci-dessus, et comme, dans l’état d’équilibre, les variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ sont