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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

et, de même,

_S$\Psi \,\mathrm {D} y\,\mathrm {D} \,\delta y=(\Psi \,\mathrm {D} y\,\delta y)_{i}-(\Psi \,\mathrm {D} y\,\delta y)_{0}-$_S$\delta y\,\mathrm {D} _{_{'}}(\Psi \,\mathrm {D} y),$

_S$\Psi \,\mathrm {D} z\,\mathrm {D} \,\delta z\,=(\Psi \,\mathrm {D} z\,\delta z)_{i}-(\Psi \,\mathrm {D} z\,\delta z)_{0}\,-$_S$\delta z\,\mathrm {D} _{_{'}}(\Psi \,\mathrm {D} z),$

et l’on fera ces substitutions dans l’expression de $\delta \mathrm {V} .$

Si le premier corps et le dernier sont supposés fixes, les variations $\delta x_{0},\,\delta y_{0},\,\delta z_{0},$ et $\delta x_{i},\,\delta y_{i},\,\delta z_{i},$ qui s’y rapportent, seront nulles. Nous adopterons d’abord cette hypothèse, qui simplifie les formules, et nous aurons, en conséquence,

$\delta \mathrm {V} =$_S$\delta \Pi \,\mathrm {Dm} -$_S$\delta x\,\mathrm {D} _{_{'}}(\Psi \,\mathrm {D} x)-$_S$\delta y\,\mathrm {D} _{_{'}}(\Psi \,\mathrm {D} y)-$_S$\delta z\,\mathrm {D} _{_{'}}(\Psi \,\mathrm {D} z).$

En général, comme il faut que les variations disparaissent toujours, si le premier ou le dernier corps, ou tous les deux, n’étaient pas fixes, il faudrait supposer la valeur de $\Psi$ulle au commencement ou à la fin. On aurait ainsi, à cause de $\Psi ={\frac {\Phi }{\mathrm {D} s}},$ la condition à remplir $\Phi _{0}=0$ ou $\Phi _{i}=0,$ si le premier ou le dernier corps est supposé mobile ; et si tous les deux étaient mobiles, on aurait les deux conditions $\Phi _{0}=0$ et $\Phi _{i}=0.$

18. La variation $\delta \mathrm {V}$ étant réduite à cette forme simple, les équations générales de la Section IV (art. 10), étant rapportées aux variables $x,\,y,\,z$ de chacun des corps du système, donneront pour ces variables les trois équations suivantes, dans lesquelles je remets $\Phi$ au lieu de $\Psi \,\mathrm {D} s\,:$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\mathrm {Dm} &+{\frac {\delta \Pi }{\delta x}}\mathrm {Dm} -\mathrm {D} _{_{'}}\left({\frac {\Phi \,\mathrm {D} x}{\mathrm {D} s}}\right)=0,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\mathrm {Dm} &+{\frac {\delta \Pi }{\delta y}}\mathrm {Dm} -\mathrm {D} _{_{'}}\left({\frac {\Phi \,\mathrm {D} y}{\mathrm {D} s}}\right)=0,\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\mathrm {Dm} &+{\frac {\delta \Pi }{\delta z}}\mathrm {Dm} \,-\mathrm {D} _{_{'}}\left({\frac {\Phi \,\mathrm {D} z}{\mathrm {D} s}}\right)=0.\end{aligned}}$

Ces équations sont rigoureuses, quel que soit le mouvement des corps ; mais, lorsque ces mouvements sont très petits, les équations se simplifient et deviennent linéaires, comme nous l’avons vu plus haut (§ I).