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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

16. En effet, on a, en général,

$\mathrm {D} xy=x\,\mathrm {D} y+y\,\mathrm {D} x+\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y=(x+\mathrm {D} x)\mathrm {D} y+y\,\mathrm {D} x=x_{_{'}}\mathrm {D} y+y\,\mathrm {D} x,$

en dénotant par $x_{_{'}}$ le terme qui suit $x$ dans la série des termes consécutifs $x,\,x+\mathrm {D} x,\,\ldots .$ Donc, en passant des différences aux sommes, on aura

_S$y\,\mathrm {D} x=xy-$_S$x_{_{'}}\mathrm {D} y.$

On trouverait de la même manière

_S$y\,\mathrm {D} ^{2}x=y\,\mathrm {D} x-x_{_{'}}\mathrm {D} y+$_S$x_{_{''}}\mathrm {D} ^{2}y,$

et ainsi de suite, $x,\,x_{_{'}},\,x_{_{''}},\,\ldots$ étant les termes qui se suivent dans la même série.

Pour compléter ces sommations, il faudra rapporter les termes hors du signe _S au dernier point de l’intégrale finie _S$y\,\mathrm {D} x$ et en retrancher les mêmes termes rapportés au premier point. Ainsi, en marquant par un zéro et par un $i$ placés au bas des lettres les termes qui se rapportent au premier et au dernier point, on aura ces sommations complètes

_S$y\,\mathrm {D} x\ \ =x_{i}y_{i}-x_{0}y_{0}-$_S$x_{_{'}}\mathrm {D} y,$

_S$y\,\mathrm {D} ^{2}x=y_{i}\mathrm {D} x_{i}-x_{i+1}\mathrm {D} y_{i}-y_{0}\mathrm {D} x_{0}+x_{_{'}}\mathrm {D} y_{0}+$_S$x_{_{''}}\mathrm {D} y,$

 

Lorsque la caractéristique _S indique des sommes totales d’un nombre de termes donné, il est clair qu’on peut, à la place des termes $x_{_{'}}\mathrm {D} y,\,x_{_{''}}\mathrm {D} y,\,\ldots$ sous le signe _S prendre les termes précédents, que nous dénoterons par $x\mathrm {D} _{_{'}}y,\,x\mathrm {D} _{_{''}}y,\,\ldots ,$ en marquant d’un trait, de deux, …, placés à gauche, les termes $\,_{_{''}}\!y,\,\,_{_{'}}\!y,$ qui précèdent $y$ dans la série indéfinie $\ldots ,\,\,_{_{''}}\!y,\,\,_{_{'}}\!y,$ $\,y,\,y_{_{'}},$ $y_{_{''}}\,\ldots .$

17. Cela posé, mettons dans les formules précédentes $\delta x$ à la place de $x$ et $\Psi \mathrm {D} x$ à la place de $y,$ on aura ces transformations

_S$\Psi \,\mathrm {D} x\,\mathrm {D} \,\delta x=(\Psi \,\mathrm {D} x\,\delta x)_{i}-(\Psi \,\mathrm {D} x\,\delta x)_{0}-$_S$\delta x\,\mathrm {D} _{_{'}}(\Psi \,\mathrm {D} x)\,;$