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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

grable dont la différentielle par $\delta$ soit $\Phi \,\delta \operatorname {D} \!s.$ Cette force $\Phi ,$ que nous supposons fonction de $\operatorname {D} \!s,$ pourra varier d’un corps à l’autre et sera, par conséquent, aussi fonction du nombre ou de la quantité qui représente la place de chaque corps dans la série de tous les corps, et à laquelle se rapporte le signe sommatoire _S. Si les corps, au lieu de s’attirer, se repoussaient, il faudrait prendre $\Phi$ négativement.

On aura ainsi

$\mathrm {V} =$_S$\Pi \operatorname {D} \!\mathrm {m} +$_S$\int \Phi d\operatorname {D} \!s$

et, par conséquent

$\delta \mathrm {V} =$_S$\delta \Pi \operatorname {D} \!\mathrm {m} +$_S$\Phi \,\delta \operatorname {D} \!s.$

Et il est bon de remarquer que cette expression de $\delta \mathrm {V}$ serait la même si les corps étaient liés entre eux de manière que leurs distances mutuelles fussent invariables ; car on aurait dans ce cas l’équation de condition $\delta \operatorname {D} \!s=0,$ laquelle donnerait dans l’expression de $\delta \mathrm {V}$ le terme _S$\lambda \,\delta \operatorname {D} \!s$ (article cité).

15. En exprimant l’élément $\operatorname {D} \!s$ par les différences finies de $x,\,y,\,z,$ il est clair qu’on aura

$\operatorname {D} \!s={\sqrt {\operatorname {D} \!x^{2}+\operatorname {D} \!y^{2}+\operatorname {D} \!z^{2}}}\,;$

donc, différentiant par $\delta ,$

$\delta \operatorname {D} \!s={\frac {\operatorname {D} \!x\,\delta \operatorname {D} \!x+\operatorname {D} \!y\,\delta \operatorname {D} \!y+\operatorname {D} \!z\,\delta \operatorname {D} \!z}{\operatorname {D} \!s}}.$

Substituant cette valeur, et faisant, pour abréger, ${\frac {\Phi }{\operatorname {D} \!s}}=\Psi ,$ fonction de $\operatorname {D} \!s,$ on aura

$\delta \mathrm {V} -$_S$\delta \Pi \operatorname {D} \mathrm {m} +$_S$\Psi \left(\operatorname {D} \!x\,\delta \operatorname {D} \!x+\operatorname {D} \!y\,\delta \operatorname {D} \!y+\operatorname {D} \!z\,\delta \operatorname {D} \!z\right).$

Comme les caractéristiques $\operatorname {D}$ et $\delta$ sont indépendantes entre elles, on peut changer $\delta \operatorname {D}$ en $\operatorname {D} \delta ,$ et l’on aura

$\delta \mathrm {V} =$_S$\delta \Pi \operatorname {D} \mathrm {m} +$_S$\Psi \left(\operatorname {D} \!x\,\operatorname {D} \delta x+\operatorname {D} \!y\,\operatorname {D} \delta y+\operatorname {D} \!z\,\operatorname {D} \delta z\right).$

On peut aussi faire disparaître le $\operatorname {D}$ avant le $\delta ,$ par l’intégration par parties appliquée aux différences finies.