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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

et relative, dans lesquels le rétablissement de l’équilibre dépendra du déplacement initial du système. Car, si quelques-unes des valeurs de ${\sqrt {k}}$ sont imaginaires, les termes correspondants dans les valeurs des variables contiendront des arcs de cercle, et l’équilibre ne sera pas stable en général mais, si les coefficients de ces termes deviennent nuls, ce qui dépend de l’état initial du système, les arcs de cercle disparaîtront, et l’équilibre pourra encore être regardé comme stable, du moins par rapport à cet état particulier.

11. Lorsque toutes les valeurs de ${\sqrt {k}}$ sont réelles et inégales et que, par conséquent, l’équilibre est stable, les expressions de toutes les variables seront composées d’autant de termes de la forme

$\mathrm {E} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\varepsilon \right)$

qu’il y a de variables.

Or ce terme représente les oscillations très petites et isochrones d’un pendule simple dont la longueur est ${\frac {g}{k}},$ en prenant $g$ pour la force de la gravité. Donc les oscillations des différents corps du système pourront être regardées comme composées d’oscillations simples analogues à celles des pendules dont les longueurs seraient ${\frac {g}{k'}},\,{\frac {g}{k''}},\,{\frac {g}{k'''}},\,\ldots .$

Mais, les coefficients $\mathrm {E',\,E''} ,\,\ldots ,$ étant arbitraires et dépendant uniquement de l’état initial du système, on peut toujours supposer cet état tel que tous ces coefficients, hors un quelconque, soient nuls ; alors tous les corps du système feront des oscillations simples, analogues à celles d’un même pendule ; et l’on voit qu’un même système est susceptible d’autant de différentes oscillations simples qu’il y a de corps mobiles^[1]. Donc, en général, les oscillations quelconques d’un système ne seront composées que de toutes les oscillations simples qui pourront y avoir lieu par la nature du système.

1. Le nombre des oscillations simples n’est pas égal au nombre des corps mobiles, mais au nombre des variables indépendantes. C’est, du reste, ce que Lagrange dit lui-même au commencement du paragraphe. (J. Bertrand.)