peut-être difficile de démontrer directement qu’elles doivent être toutes réelles ; mais on peut se convaincre, d’une autre manière, que cela doit être ainsi.
Car le principe de la conservation des forces vives, que nous avons démontré dans le § V de la Section III, donne l’équation (sect. IV, art. 14), laquelle a toujours lieu puisque et sont fonctions sans (sect. V, art. 21). Or, si l’on désigne par la partie de qui contient les termes de deux dimensions, en sorte que
à cause de
on aura (art. 3)
en dénotant par et les valeurs de et au premier instant ; donc
Donc, puisque est, par sa forme, une quantité toujours positive, si l’est aussi, on aura nécessairement
de sorte que la valeur de et, conséquemment aussi, celles des variables seront renfermées dans des limites données et dépendantes uniquement de l’état initial. Ces variables ne pourront donc pas contenir le temps hors des signes de sinus et cosinus, parce qu’alors elles pourraient aller en croissant à l’infini. Or, lorsque la valeur de est constamment positive, celle de l’est aussi ; par conséquent, les racines de l’équation en seront nécessairement toutes réelles, positives et inégales (art. 7), et la solution sera toujours bonne.
Dans ce cas, l’état d’équilibre d’où le système a été déplacé sera stable, puisque le système y reviendra, ou tendra toujours à y revenir,
