Quant aux valeurs de on les déterminera ensuite par les équations
en commençant par la dernière, et remontant à la première par la substitution successive des valeurs trouvées.
7. Comme la solution précédente est fondée sur la supposition que les variables soient très petites, il faut, pour qu’elle soit légitime, que cette supposition ait lieu en effet ; ce qui demande que les racines soient toutes réelles, positives et inégales, afin que le temps qui croît à l’infini, soit toujours renfermé sous les signes de sinus ou cosinus. Si quelques-unes de ces racines devenaient négatives ou imaginaires, elles introduiraient dans les sinus ou cosinus correspondants des exponentielles réelles, et si elles devenaient simplement égales, elles y introduiraient des puissances algébriques de l’arc ; c’est de quoi on peut s’assurer, par les méthodes connues, en mettant dans le premier cas, à la place des sinus ou cosinus, leurs expressions exponentielles imaginaires, et en supposant, dans le second, que les racines égales diffèrent entre elles de quantités infiniment petites indéterminées ; mais, comme le développement de ces cas est inutile pour l’objet présent, nous ne nous y arrêterons point.
Si la condition de la réalité et de l’inégalité des coefficients de a lieu, il est visible que les plus grandes valeurs de seront moindres que les sommes des quantités en prenant toutes ces quantités positivement ; par conséquent, si ces différentes sommes sont fort petites, on sera assuré que les valeurs des variables le seront toujours aussi.
Mais, comme les coefficients sont arbitraires et dépendent uniquement du déplacement initial du système, il est possible que les variables restent fort petites, quand même, parmi les quantités il y en aurait d’imaginaires ou d’égales ; car il suffit pour cela que les quantités correspondantes
