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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

différentes constantes arbitraires $\mathrm {L',\,L''} ,\,\ldots ,$ $\lambda ',\,\lambda '',\,\ldots ,$ on aura les équations suivantes

${\begin{aligned}&p'\ \;\xi +q'\;\psi +r'\;\varphi +\ldots =\mathrm {L} '\;\sin(t{\sqrt {k'}}\ \;+\lambda '\ \;),\\&p''\ \xi +q''\,\psi +r''\,\varphi +\ldots =\mathrm {L} ''\,\sin(t{\sqrt {k''}}\ +\lambda ''\ ),\\&p'''\xi +q'''\psi +r'''\varphi +\ldots =\mathrm {L} '''\sin(t{\sqrt {k'''}}+\lambda '''),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Ces équations serviraientgénéralement à déterminer les valeurs de $\xi ,\,\psi ,$ $\varphi ,\,\ldots ,$ et il est clair que ces valeurs devraient coïncider avec celles qu’on a trouvées ci-dessus (art. 4), puisqu’elles résultent les unes et les autres des mêmes équations différentielles. Ainsi, en substituant les valeurs de l’article cité dans les équations précédentes, elles devront devenir entièrement identiques.

D’où il est facile de conclure que, pour la première équation, on aura

$\lambda '=\varepsilon ',\qquad \mathrm {L} '=(p'+f'q'+g'r'+\ldots )\mathrm {E} ',$

ensuite

$p'+f''q'+g''r'+\ldots =0,\qquad p'+f'''q'+g'''r'+\ldots =0,\qquad \ldots \,;$

que l’on aura de même, pour la seconde équation,

$\lambda ''=\varepsilon '',\qquad \mathrm {L} ''=(p''+f''q''+g''r''+\ldots )\mathrm {E} '',$

ensuite

$p''+f'q''+g'r''+\ldots =0,\qquad p''+f'''q''+g'''r''+\ldots =0,\qquad \ldots ,$

et ainsi des autres.

Donc, substituant dans les équations ci-dessus, pour $\lambda ',\,\mathrm {L} ',\,\lambda '',\,\mathrm {L} '',$ $\lambda ''',\,\mathrm {L} ''',\,\ldots ,$ les valeurs qu’on vient de trouver, on aura celles-ci

${\begin{aligned}&\mathrm {E} '\ \ \sin \left(t{\sqrt {k'}}\ +\varepsilon '\ \right)={\frac {p'\xi \ \ +q'\psi \ \;+r'\varphi \;+\ldots }{p'\ \ +q'f'\ \;+r'g'\ \ +\ldots }},\\&\mathrm {E} ''\ \sin \left(t{\sqrt {k''}}\,+\varepsilon ''\,\right)={\frac {p''\xi \ +q''\psi \ +r''\varphi \;+\ldots }{p''\ +q''f''\ +r''g''\ +\ldots }},\\&\mathrm {E} '''\sin \left(t{\sqrt {k'''}}+\varepsilon '''\right)={\frac {p'''\xi +q'''\psi +r'''\varphi \ \ +\ldots }{p'''+q'''f'''+r'''g'''+\ldots }},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

qui sont les réciproques de celles de l’article 4.