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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

lesquelles serviront à leur détermination. De là on tirera aisément les valeurs de $\mathrm {E',\,E''} ,\,\ldots$ ainsi que de $\operatorname {tang} \varepsilon ',\operatorname {tang} \varepsilon '',\ldots$ et enfin celles des angles mêmes $\varepsilon ',\varepsilon '',\ldots .$

Mais voici un moyen plus simple de déterminer ces inconnues directement et sans les embarras de l’élimination.

5. Je remarque qu’en ajoutant ensemble les équations différentielles de l’article 3, après avoir multiplié la deuxième par $f,$ la troisième par $g,$ et ainsi de suite, et faisant, pour abréger,

${\begin{alignedat}{5}&p&=&(1)&+&(1,2)f&+&(1,3)g&+&\ldots ,\\&\mathrm {P} &=&[1]&+&[1,2]f&+&[1,3]g&+&\ldots ,\\&q&=&(2)f&+&(1,2)&+&(2,3)g&+&\ldots ,\\&\mathrm {Q} &=&[2]f&+&[1,2]&+&[2,3]g&+&\ldots ,\\&r&=&(3)g&+&(1,3)&+&(2,3)f&+&\ldots ,\\&\mathrm {R} &=&[3]g&+&[1,3]&+&[2,3]f&+&\ldots ,\\\end{alignedat}}$

 

on a l’équation

$p{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+q{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}+r{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+\ldots +\mathrm {P\xi +Q\psi +R\varphi } +\ldots =0.$

Mais les équations de l’article 4 donnent

$\mathrm {P} =kp,\qquad \mathrm {Q} =kq,\qquad \mathrm {R} =kr,\qquad \ldots .$

Donc l’équation précédente deviendra de la forme

${\frac {d^{2}(p\xi +q\psi +r\varphi +\ldots )}{dt^{2}}}+k(p\xi +q\psi +r\varphi +\ldots )=0,$

dont l’intégrale est

$p\xi +q\psi +r\varphi +\ldots =\mathrm {L} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\lambda \right),$

$\mathrm {L}$ et $\lambda$ étant deux constantes arbitraires.

Cette équation doit avoir lieu également pour toutes les différentes valeurs de $k$ qui résultent des mêmes équations de condition et que nous avons dénotées par $k',\,k'',\,\ldots .$ Ainsi, désignant de même par $p',\,p'',\,\ldots ,$ $q',\,q'',\,\ldots$ les valeurs correspondantes de $p,\,q,\,\ldots ,$ et prenant