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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

par ces substitutions, elles deviendront

${\begin{aligned}&\left[(1)+(1,2)f+(1,3)g+\ldots \right]{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\left([1]+[1,2]f+[1,3]g+\ldots \right)\xi =0,\\&\left[(2)f+(1,2)+(2,3)g+\ldots \right]{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\left([2]f+[1,2]+[2,3]g+\ldots \right)\xi =0,\\&\left[(3)g+(1,3)+(2,3)f+\ldots \right]{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+\left([3]g+[1,3]+[2,3]f+\ldots \right)\xi =0,\end{aligned}}$

 

lesquelles donnent

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =0,$

en faisant

${\begin{aligned}k&={\frac {[1]+[1,2]f\,+[1,3]g\,+\ldots }{(1)+(1,2)f+(1,3)g+\ldots }}\\&={\frac {[2]f+[1,2]\;+[2,3]g\;+\ldots }{(2)f+(1,2)+(2,3)g\,+\ldots }}\\&={\frac {[3]g\ +[1,3]\ +[2,3]f\;+\ldots }{(3)g\,+(1,3)+(2,3)f+\ldots }}.\end{aligned}}$

Le nombre de ces équations est, comme l’on voit, égal à celui des inconnues, $f,\,g,\,\ldots ,\,k\,;$ par conséquent, elles déterminent exactement ces inconnues ; et comme, en retenant pour premier membre le terme $k$ et le multipliant respectivement par le dénominateur du second, on a des équations linéaires en $f,\,g,\,\ldots ,$ on pourra les éliminer par les méthodes connues, et il n’est pas difficile de voir, par les formules générales d’élimination, que la résultante en $k$ sera d’un degré égal à celui des équations, et, par conséquent, égal à celui des équations différentielles proposées ; de sorte que l’on aura pour $k$ un pareil nombre de différentesvaleurs, dont chacune, étant substituée dans les expressions de $f,\,g,\,\ldots ,$ donnera les valeurs correspondantes de ces quantités.

Maintenant l’équation

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =0$

donne par l’intégration

$\xi =\mathrm {E} \sin \left(t{\sqrt {k}}+\varepsilon \right),$