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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

donnée (Part. 1, sect. II), il faudra que l’on ait

$d\mathrm {V} =0,$

par rapport à chacune des variables indépendantes ; par conséquent,

${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}=0,\qquad {\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}=0,\qquad {\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}=0,\qquad \ldots$

seront les conditions de l’équilibre, lequel étant supposé répondre à

$\xi =0,\qquad \psi =0,\qquad \varphi =0,\qquad \ldots ,$

on aura

$\mathrm {H} _{1}=0,\qquad \mathrm {H} _{2}=0,\qquad \mathrm {H} _{3}=0,\qquad \ldots ,$

de sorte que les premières dimensions des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ dans l’expression de $\mathrm {V}$ disparaîtront toujours.

Substituant donc dans les équations générales les valeurs de $\mathrm {T}$ et de $\mathrm {V} ,$ et faisant $\mathrm {H_{1},\,H_{2},\,H_{3}} ,\,\ldots$ nuls, on aura, pour le mouvement du système,

${\begin{aligned}&0=(1){\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+(1,2){\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}+(1,3){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+\ldots +[1]\xi +[1,2]\psi +[1,3]\varphi +\ldots ,\\&0=(2){\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}+(1,2){\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+(2,3){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+\ldots +[2]\psi +[1,2]\xi +[2,3]\varphi +\ldots ,\\&0=(3){\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+(1,3){\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+(2,3){\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}+\ldots +[3]\varphi +[1,3]\xi +[2,3]\psi +\ldots ,\end{aligned}}$

 

équations qui, étant sous une forme linéaire avec des coefficients constants, peuvent être intégrées rigoureusement et généralement par les méthodes connues.

4. On peut supposer d’abord que les variables, dans ces sortes d’équations, aient entre elles des rapports constants, c’est-à-dire que l’on ait

$\psi =f\xi ,\qquad \varphi =g\xi ,\qquad \ldots \,;$