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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

que les différentielles des variables, on aura sur-le-champ, pour le mouvement du système, les équations suivantes :

${\begin{aligned}&d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}=0,\\&d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }}=0,\\&d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }}=0,\\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

dont le nombre sera, comme l’on voit, égal à celui des variables.

Ces équations doivent avoir lieu aussi dans l’état d’équilibre, puisque le système, y étant une fois, $y$ resterait toujours de lui-même ; or, dans l’équilibre, on a constamment $x=a,\,y=b,\,z=c\,;$ $x'=a',\ldots ,$ par l’hypothèse, donc

$\xi =0,\qquad \psi =0,\qquad \varphi =0,\qquad \ldots ,$

ainsi que

${\frac {d\xi }{dt}}=0,\qquad {\frac {d\psi }{dt}}=0,\qquad \ldots \,;\qquad {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=0,\quad \ldots .$

Donc les termes $d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }},\,d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }},\,\ldots$ seront nuls, et les termes ${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }},\,{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }},$ ${\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }},\,\ldots .$ Par conséquent, on aura

$\mathrm {H} _{1}=0,\qquad \mathrm {H} _{2}=0,\qquad \mathrm {H} _{3}=0,\qquad \ldots .$

Ce sont les conditions nécessaires pour que $a,\,b,\,c,\,a',\,\ldots$ $a',$ soient les valeurs de $x,\,y,\,z,\,x',\,\ldots$ pour l’état d’équilibre, comme on le suppose.

En effet, il est visible que

$d\mathrm {V} =$_S$\mathrm {m} (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )$

exprime la somme des moments de toutes les forces $\mathrm {mP,mQ,mR} ,\ldots$ appliquées à tous les corps $\mathrm {m}$ du système et qui doivent se détruire mutuellement dans l’état d’équilibre ; donc, par la formule générale