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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

où le signe _S dénote des intégrations ou sommations relatives à tous les différents corps $\mathrm {m}$ du système, et en même temps indépendantes des variations $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ ainsi que du temps $t.$

Ensuite, si l’on dénote par $\operatorname {F}$ la fonction algébrique $\Pi ,$ en y mettant $a,\,b,\,c$ à la place de $x,\,y,\,z,$ il est clair que la valeur générale de $\Pi$ sera représentée ainsi

${\begin{aligned}\operatorname {F} &+(a_{1}\xi \,+a_{2}\psi +a_{3}\varphi +\ldots ){\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial a}}\\&+(b_{1}\xi \ +b_{2}\psi \,+b_{3}\varphi +\ldots ){\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial b}}\\&+(c_{1}\xi \ +c_{2}\psi \,+c_{3}\varphi +\ldots ){\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial c}}\\&+{\frac {(a_{1}\xi +a_{2}\psi +a_{3}\varphi +\ldots )^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}\operatorname {F} }{\partial a^{2}}}\\&+(a_{1}\xi \,+a_{2}\psi +a_{3}\varphi +\ldots )(b_{1}\xi +b_{2}\psi +b_{3}\varphi +\ldots ){\frac {\partial ^{2}\operatorname {F} }{\partial a\partial b}}\\&+{\frac {(b_{1}\xi \,+b_{2}\psi +b_{3}\varphi \,+\ldots )^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}\operatorname {F} }{\partial b^{2}}},\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où il suffit d’avoir égard aux secondes dimensions $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots .$

Multipliant donc cette fonction par $\mathrm {m}$ et intégrant avec le signe _S, on aura, en général,

${\begin{aligned}\mathrm {V} =\mathrm {H} &+\mathrm {H} _{1}\xi +\mathrm {H} _{2}\psi +\mathrm {H} _{3}\varphi +\ldots +{\frac {[1]\xi ^{2}+[2]\psi ^{2}+[3]\varphi ^{2}+\ldots }{2}}\\&+[1,2]\xi \psi +[1,3]\xi \varphi +[2,3]\psi \varphi +\ldots \,;\end{aligned}}$

$\mathrm {H} \ \ =$_S$\mathrm {m} \operatorname {F} ,$

$\mathrm {H} _{1}=$_S$\mathrm {m} \left(a_{1}{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial a}}+b_{1}{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial b}}+c_{1}{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial c}}\right),$

$\mathrm {H} _{2}=$_S$\mathrm {m} \left(a_{2}{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial a}}+b_{2}{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial b}}+c_{2}{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial c}}\right),$

$\mathrm {H} _{3}=$_S$\mathrm {m} \left(a_{3}{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial a}}+b_{3}{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial b}}+c_{3}{\frac {\partial \operatorname {F} }{\partial c}}\right),$

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