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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

On pourra aussi, dans la plupart des cas, en ayant égard aux conditions du problème, réduire les coordonnées, immédiatement par des substitutions, en fonctions rationnelles et entières d’autres variables indépendantes entre elles et très petites, dont la valeur soit nulle dans l’état d’équilibre.

Nous supposerons donc, en général, que l’on ait

${\begin{aligned}x=&a+a_{1}\xi +a_{2}\psi +a_{3}\varphi +\ldots +a'_{1}\xi ^{2}+\ldots ,\\y=&b\,+b_{1}\xi +b_{2}\,\psi +b_{3}\,\varphi +\ldots +b'_{1}\xi ^{2}+\ldots ,\\z=&c\,+c_{1}\xi +c_{2}\,\psi +c_{3}\,\varphi +\ldots +c'_{1}\xi ^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi des autres coordonnées $x',\,y',\,\ldots \,;$ les quantités $a,\,b,\,c,\,\ldots$ $a_{1},\,b_{1},\,\ldots$ sont constantes, et les quantités $\xi ,\psi ,\varphi ,\ldots$ sont variables, très petites, et nulles dans l’équilibre.

2. Il ne s’agira que de faire ces substitutions dans les valeurs de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ de l’article 10 de la Section IV ; et il suffira de tenir compte des secondes dimensions pour avoir des équations différentielles linéaires. Et d’abord il est clair que la valeur de $\mathrm {T}$ sera de cette forme

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&{\frac {1}{2}}\left[(1){\frac {d\xi ^{2}}{dt^{2}}}+(2){\frac {d\psi ^{2}}{dt^{2}}}+(3){\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+\ldots \right]\\+&(1,2){\frac {d\xi }{dt}}{\frac {d\psi }{dt}}+(1,3){\frac {d\xi }{dt}}{\frac {d\varphi }{dt}}+(2,3){\frac {d\psi }{dt}}{\frac {d\varphi }{dt}}+\ldots ,\end{aligned}}$

en supposant, pour abréger,

$(1)=$_S$\mathrm {m} \left(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}\right),$

$(2)=$_S$\mathrm {m} \left(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}\right),$

$(3)=$_S$\mathrm {m} \left(a_{3}^{2}+b_{3}^{2}+c_{3}^{2}\right),$

;

$(1,2)=$_S$\mathrm {m} \left(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right),$

$(1,3)=$_S$\mathrm {m} \left(a_{1}a_{3}+b_{1}b_{3}+c_{1}c_{3}\right),$

$(2,3)=$_S$\mathrm {m} \left(a_{2}a_{3}+b_{2}b_{3}+c_{2}c_{3}\right),$

;