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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

$y,\,z,\,x',\,y',\,\ldots .$ Comme la position d’équilibre est une de celles que le système peut avoir, il s’ensuit que les mêmes équations $\mathrm {L} =0,$ $\mathrm {M} =0,\ldots$ devront subsister en supposant que $x,\,y,\,z,\,x',\,\ldots$ deviennent $a,\,b,\,c,\,a',\,\ldots \,;$ d’où il est facile de conclure que ces équations ne sauraient renfermer le temps $t.$

Soient $\mathrm {A,\,B} ,\,\ldots$ ce que deviennent $\mathrm {L,\,M} ,\,\ldots$ lorsque $x,\,y,\,z,\,x',\,\ldots$ deviennent $a,\,b,\,c,\,a',\,\ldots \,;$ il est clair qu’en substituant pour $x,\,y,\,z,\,x',\,\ldots$ leurs valeurs $a+\alpha ,\,b+\beta ,\,c+\gamma ,\,a'+\alpha ',\,\ldots ,$ on aura, à cause de la petitesse de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\ldots ,$

${\begin{aligned}\mathrm {L} \ =&\mathrm {A} +{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial a}}\alpha +{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial b}}\beta +{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial c}}\gamma +{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial a'}}\alpha '+\ldots ,\\\mathrm {M} \ =&\mathrm {B} +{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial a}}\alpha +{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial b}}\beta \,+{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial c}}\gamma +{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial a'}}\alpha '+\ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite. Donc :

1^o On aura

$\mathrm {A} =0,\qquad \mathrm {B} =0,\qquad \ldots ,$

relativement à l’équilibre ;

2^o On aura les équations

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial a}}\alpha +{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial b}}\beta +{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial c}}\gamma +{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial a'}}\alpha '+\ldots =0,\\&{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial a}}\alpha +{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial b}}\beta \,+{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial c}}\gamma +{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial a'}}\alpha '+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

lesquelles donneront la relation qui doit subsister entre les variables $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ $\alpha ',\ldots .$

En négligeant d’abord les quantités très petites du second ordre et des ordres supérieurs, on aura des équations linéaires par lesquelles on déterminera les valeurs de quelques-unes de ces variables par les autres ; ensuite, par ces premières valeurs, on en trouvera de plus exactes en tenant compte des secondes puissances et des puissances plus hautes, comme on voudra. On aura ainsi les valeurs de quelques-unes des variables $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\alpha ',\ldots ,$ exprimées par des fonctions en série des autres variables ; et ces variables restantes seront alors absolument indépendantes entre elles.