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SECONDE PARTIE. — SECTION VI.

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SECTION SIXIÈME.

SUR LES OSCILLATIONS TRÈS PETITES D’UN SYSTÈME QUELCONQUE DE CORPS.

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1. Les équations différentielles du mouvement d’un système quelconque de corps sont toujours intégrables dans le cas où les corps ne s’écartent que très peu de leurs points d’équilibre ; et l’on peut alors déterminer les lois des oscillations de tout le système. L’analyse générale de ce cas, qui est très étendu, et la solution de quelques-uns des principaux problèmes qui s’y rapportent sont l’objet de cette Section.

§ I. — Solution générale du problème des oscillations très petites d’un système de corps autour de leurs points d’équilibre.

1. Soient $a,b,c$ les valeurs des coordonnées rectangles $x,\,y,\,z$ de chaque corps $m$ du système proposé dans le lieu de son équilibre. Comme on suppose que le système, dans son mouvement, s’éloigne très peu de sa situation d’équilibre, on aura, en général,

$x=a+\alpha ,\qquad y=b+\beta ,\qquad z=c+\gamma ,$

les variables $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ étant toujours très petites ; il suffira, par conséquent, d’avoir égard à la première dimension de ces quantités dans les équations différentielles du mouvement. La même chose aura lieu pour les autres quantités analogues, qu’on distingue par un, deux, …traits. relativement aux différents corps $m',\,m'',\dots$du même système.

Considérons d’abord les équations de condition qui doivent avoir lieu par la nature du système, et qu’on peut représenter par

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,\,\dots ,$

$\mathrm {L,\,M} ,\ldots$ étant des fonctions algébriques données des coordonnées $x,$