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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

§ III. — Où l’on démontre une propriété importante de la quantité qui exprime la force vive dans un système troublé par des forces perturbatrices.

20. Les constantes arbitraires dont nous venons de donner les variations dépendent de la nature de chaque problème et ne peuvent être déterminées que dans les cas particuliers. Il y en a cependant une qui a lieu, en général, pour tous les problèmes où $\mathrm {V}$ n’est fonction que de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ c’est celle que l’intégration doit ajouter à $t\,;$ car, comme les équations différentielles ne renferment alors que l’élément $dt,$ il est clair que, dans les expressions finies des variables en fonction de $t,$ on peut toujours mettre $t$ plus une constante arbitraire à la place de $t.$

Désignons cette constante par $\mathrm {K}$ et rapportons-y les différences marquées par la caractéristique $\Delta$ dans la formule générale de l’article 11. On aura ainsi

\Delta \Omega ={\frac {\partial \Omega }{\partial \mathrm {K} }}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \Delta \xi ={\frac {\partial \xi }{\partial \mathrm {K} }}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \Delta \psi ={\frac {\partial \psi }{\partial \mathrm {K} }}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \ldots .

Mais, puisque $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ sont fonctions de $t+\mathrm {K} ,$ il est clair qu’on aura

{\frac {\partial \xi }{\partial \mathrm {K} }}={\frac {d\xi }{dt}}=\xi '

et, de même,

{\frac {\partial \psi }{\partial \mathrm {K} }}={\frac {d\psi }{dt}}=\psi ',\qquad {\frac {\partial \varphi }{\partial \mathrm {K} }}={\frac {d\varphi }{dt}}=\varphi ',\qquad \ldots .

Donc

\Delta \xi =\xi '\Delta \mathrm {K} ,\qquad \Delta \psi =\psi '\Delta \mathrm {K} ,\qquad \Delta \varphi =\varphi '\Delta \mathrm {K} ,\qquad \ldots .

Par la même raison, on aura

\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}={\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}}{dt}}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}={\frac {d{\cfrac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}}{dt}}\Delta \mathrm {K} ,\qquad \ldots .