Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/379

361

SECONDE PARTIE. — SECTION V.

les premières, il suffira de supposer $t=0$ dans les valeurs des fonctions $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots \,;$ ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}},\,\ldots$ et d’égaler les résultats aux quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\ldots .$ De cette manière on aura autant d’équations entre ces différentes constantes, par lesquelles on pourra déterminer les valeurs de $a,\,b,\,c,\ldots ,$ en fonctions de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\ldots \,;$ $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots .$

Nous supposerons donc ces fonctions connues, et la différentiation nous donnera tout de suite

${\begin{aligned}da=&+{\frac {\partial a}{\partial \alpha }}d\alpha +{\frac {\partial a}{\partial \beta }}d\beta +{\frac {\partial a}{\partial \gamma }}d\gamma +\ldots \\&+{\frac {\partial a}{\partial \lambda }}d\lambda +{\frac {\partial a}{\partial \mu }}d\mu +{\frac {\partial a}{\partial \nu }}d\nu +\ldots .\end{aligned}}$

Donc, substituant les valeurs trouvées ci-dessus (art. 14) de $d\alpha ,\,d\beta ,\,\ldots ,$ et divisant par $dt,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {da}{dt}}=&+{\frac {\partial a}{\partial \lambda }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }}+{\frac {\partial a}{\partial \mu }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}+{\frac {\partial a}{\partial \nu }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \gamma }}+\ldots \\&-{\frac {\partial a}{\partial \alpha }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \lambda }}-{\frac {\partial a}{\partial \beta }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}-{\frac {\partial a}{\partial \gamma }}{\frac {\partial \Omega }{\partial \nu }}-\ldots .\end{aligned}}$

Il en est de même des valeurs de ${\frac {db}{dt}},\,{\frac {dc}{dt}},\,\ldots ,$ pour lesquelles il n’y aura qu’à changer dans l’équation précédente $a$ en $b,$ en $c,\,\ldots .$

18. Mais ces formules contiennent encore les différences partielles $\Omega$ relatives aux constantes $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots ,$ et il s’agit de les changer en différences partielles relatives à $a,\,b,\,c,\ldots ,$ ce qui est facile par les opérations connues.

En effet, comme $\Omega$ est censée maintenant fonction de $a,\,b,\,c,\ldots$ et que ces quantités sont elles-mêmes fonctions de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ on a tout de suite, par l’algorithme des différences partielles,

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }}={\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial \alpha }}+\ldots ,\\&{\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}={\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial \beta }}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial \beta }}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial \beta }}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$