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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

approximation, et cette partie sera

${\begin{aligned}\mathrm {A} &+{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial l}}{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial a}}t-{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial l}}t+{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial m}}{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial b}}t-{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial b}}{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial m}}t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où l’on voit que les termes affectés de $t$ se détruisent mutuellement.

Ainsi l’on est assuré que la seconde approximation ne donne dans $\Omega$ aucun terme qui croisse avec le temps $t\,;$ mais il resterait à voir s’il en pourrait naître dans les approximations suivantes.

Au reste, le même terme constant $\mathrm {A}$ pourrait donner encore dans $\Omega$ des termes multipliés par $t,$ étant combiné avec des termes non constants de la même fonction $\Omega \,;$ mais alors le $t$ qui se trouverait dégagé des sinus et cosinus serait en même temps multiplié par des sinus ou cosinus d’angles proportionnels au temps. La même chose aurait lieu si le coefficient de $t$ sous les signes de sinus et cosinus était fonction des constantes arbitraires $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\ldots ,$ parce qu’alors les différentiations partielles de $\Omega ,$ relatives à ces constantes, feront sortir $t$ hors des sinus ou cosinus. Mais on peut remarquer, en général, que, lorsque les approximations successives font paraître des termes de la forme dont il s’agit, dans lesquels des sinus ou cosinus se trouvent multipliés par l’angle qui est sous ces sinus ou cosinus, ces sortes de termes sont presque toujours le résultat du développement d’autres sinus ou cosinus, et l’on peut les éviter en intégrant directement les équations différentielles entre les constantes arbitraires devenues variables.

17. Quoique les constantes arbitraires que nous avons employées soient celles qui se présentent le plus naturellement et qui donnent les résultats les plus simples, il arrive souvent que les différentes intégrations introduisent à leur place d’autres constantes, mais qui ne peuvent être que des fonctions de celles-là.

Nous désignerons, en général, les constantes arbitraires qui sont censées entrer dans les expressions des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ par $a,\,b,\,c,\,\ldots ,$ dont le nombre doit être également double de celui des variables et, pour avoir les relations entre ces nouvelles constantes et