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SECONDE PARTIE. — SECTION V.

Pour la première approximation, on aura

$\Omega =\mathrm {O} ,$

$\mathrm {O}$ étant une simple fonction de $t\,;$ donc on aura par l’intégration

${\begin{alignedat}{4}\alpha '=&-\int {\frac {\partial \Omega }{\partial l}}dt,\qquad &\beta '=&-\int {\frac {\partial \Omega }{\partial m}}dt,\qquad &\gamma '=&-\int {\frac {\partial \Omega }{\partial n}}dt,\qquad &\ldots ,\\\lambda '=&+\int {\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt,&\mu '=&+\int {\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt,&\nu '=&+\int {\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt,&\ldots .\end{alignedat}}$

En substituant ces valeurs dans l’expression de $\Omega ,$ on aura, pour la seconde approximation,

${\begin{aligned}\Omega =\mathrm {O} &+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial l}}\int {\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial a}}dt-{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial a}}\int {\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial l}}dt\\&+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial m}}\int {\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial b}}dt-{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial b}}\int {\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial m}}dt\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

16. Il y a ici une remarque importante à faire. Si la fonction $\mathrm {O}$ ne contient le temps que sous les signes de sinus et cosinus, il est clair que la valeur de $\Omega$ ne contiendra, dans la première approximation, que les mêmes sinus et cosinus. Mais on pourrait douter si, dans l’approximation suivante, elle ne contiendrait pas des termes où le temps $t$ serait hors des signes de sinus et de cosinus, et qui, croissant continuellement, augmenteraient à l’infini la valeur de $\Omega$ et rendraient, par conséquent, l’approximation fautive.

Pour lever ce doute, nous remarquerons que de pareils termes ne pourraient venir que d’une partie constante de $\Omega ,$ c’est-à-dire dégagée de tout sinus ou cosinus renfermant le temps $t.$

Soit donc $\mathrm {A}$ cette partie qui sera fonction des constantes arbitraires $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots .$ Ainsi $\mathrm {O}$ contiendra une pareille fonction de $a,\,b,\,c,\,\ldots \,;$ $l,\,m,\,n,\,\ldots ,$ que nous dénoterons encore par $\mathrm {A} .$

En substituant $\mathrm {A}$ au lieu de $\mathrm {O}$ dans l’expression de $\Omega$ de l’article précédent, on aura la partie de $\Omega$ due à la constante $\mathrm {A}$ dans la seconde