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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

15. Comme la fonction $\Omega$ renferme les quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots ,$ $\lambda ,\,\mu ,$ $\nu ,\,\ldots ,$ il faudra les regarder aussi comme variables dans les différences partielles de cette fonction ; mais, lorsque la valeur de $\Omega ,$ qui dépend des forces perturbatrices, est supposée fort petite, il est clair que les variations de ces quantités seront aussi fort petites, et qu’on pourra, dans la première approximation, les regarder comme constantes dans les différences partielles de $\Omega$ et n’avoir égard à leur variabilité que dans les approximations suivantes.

Dénotons par $a,\,b,\,c,\ldots \,;$ $l,\,m,\,n,\,\ldots$ les parties constantes de $\alpha ,\,\beta ,$ $\gamma ,\,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ et par $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\,\ldots \,;$ $\lambda ',\,\mu ',\,\nu ',\,\ldots$ leurs parties variables, qui étant de l’ordre de la quantité $\Omega ,$ seront nécessairement très petites, et soit $\mathrm {O}$ la valeur de $\Omega$ en y changeant $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ en $a,\,b,\,c,\,\ldots \,;$ $l,\,m,\,n,\,\ldots .$

On aura ainsi

${\begin{alignedat}{4}\alpha =&a+\alpha ',\qquad &\beta =&b\ \ +\beta ',\qquad &\gamma =&c\,+\gamma ',\qquad &\ldots ,\\\lambda =&l\ +\lambda ',\qquad &\mu =&m+\mu ',\qquad &\nu =&n+\nu ',\qquad &\ldots ,\end{alignedat}}$

et l’on aura, par le développement,

${\begin{aligned}\Omega =\mathrm {O} &+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial a}}\alpha '+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial b}}\beta '+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial c}}\gamma '+\ldots \\&+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial l}}\lambda '+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial m}}\mu '+{\frac {\partial \mathrm {O} }{\partial n}}\nu '+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Les équations différentielles de l’article précédent donneront

${\begin{alignedat}{4}d\alpha '=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial l}}dt,\qquad &d\beta '=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial m}}dt,\qquad &d\gamma '=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial n}}dt,\qquad &\ldots ,\\d\lambda '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt,&d\mu '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}dt,&d\nu '=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}dt,&\ldots \,;\end{alignedat}}$

car il est évident que les différences partielles relatives à $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots \,;$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ peuvent être rapportées aux quantités analogues $a,\,b,\,c,\,\ldots \,;$ $l,\,m,\,n,\,\ldots .$