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SECONDE PARTIE. — SECTION V.

stantes, deviendra

$\Delta \Omega ={\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }}\Delta \alpha +{\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}\Delta \beta +{\frac {\partial \Omega }{\partial \gamma }}\Delta \gamma +\ldots +{\frac {\partial \Omega }{\partial \lambda }}\Delta \lambda +{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\Delta \mu +{\frac {\partial \Omega }{\partial \nu }}\Delta \nu +\ldots .$

En la substituant dans le premier membre de l’équation de l’article précédent et ordonnant les termes par rapport aux différences marquées par $\Delta ,$ on aura

${\begin{aligned}&\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }}dt-\delta \lambda \right)\Delta \alpha +\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}dt-\delta \mu \right)\Delta \beta +\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \gamma }}dt-\delta \nu \right)\Delta \gamma +\ldots \\+&\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \lambda }}dt-\delta \alpha \right)\Delta \lambda +\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}dt-\delta \beta \right)\Delta \mu +\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \nu }}dt-\delta \gamma \right)\Delta \nu +\ldots =0.\end{aligned}}$

Comme on peut donner aux différences $\Delta \alpha ,\,\Delta \beta ,\,\ldots$ marquées par la caractéristique $\Delta$ une valeur quelconque, il faudra que l’équation soit vérifiée indépendamment de ces différences, ce qui donnera autant d’équations particulières, telles que

${\begin{alignedat}{4}{\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }}dt=&\delta \lambda ,&{\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }}dt=&\delta \mu ,&{\frac {\partial \Omega }{\partial \gamma }}dt=&\delta \nu ,&\ldots ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial \lambda }}dt=&-\delta \alpha ,\qquad &{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}dt=&-\delta \beta ,\qquad &{\frac {\partial \Omega }{\partial \nu }}dt=&-\delta \gamma ,\qquad &\ldots .\end{alignedat}}$

14. Les différences marquées par la caractéristique $\delta$ sont proprement les différentielles des constantes arbitraires devenues variables (art. 10) ; ainsi, comme ces différentielles peuvent maintenant être rapportées également au temps $t,$ il est permis et même convenable de changer les $\delta$ en $d,$ et l’on aura, pour la détermination des nouvelles variables $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots ,\,\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ les équations

${\begin{alignedat}{4}{\frac {d\alpha }{dt}}=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \lambda }},\qquad &{\frac {d\beta }{dt}}=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }},\qquad &{\frac {d\gamma }{dt}}=&-{\frac {\partial \Omega }{\partial \nu }},\qquad &\ldots ,\\{\frac {d\lambda }{dt}}=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \alpha }},&{\frac {d\mu }{dt}}=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \beta }},&{\frac {d\nu }{dt}}=&+{\frac {\partial \Omega }{\partial \gamma }},&\ldots ,\\\end{alignedat}}$

qui sont, comme l’on voit, sous une forme très simple, et qui fournissent ainsi la solution la plussimple du problème de la variation des constantes arbitraires.