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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

et qu’on substitue ces valeurs dans le second membre de l’équation de l’article précédent, on pourra y faire $t=0,$ ce qui les réduira aux seuls premiers termes $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots ,\,\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots .$

Cette équation se réduira ainsi à la forme

$\Delta \Omega \,dt=\Delta \alpha \,\delta \lambda +\Delta \beta \,\delta \mu +\Delta \gamma \,\delta \nu +\ldots -\Delta \lambda \,\delta \alpha -\Delta \mu \,\delta \beta -\Delta \nu \,\delta \gamma -\ldots .$

13. Les quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots ,\,\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ ne peuvent être que fonctions des constantes arbitraires que la double intégration introduit dans les expressions finies des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ et l’on peut aussi les prendre pour ces mêmes constantes.

En effet, les constantes arbitraires qui donnent à la solution d’un problème de Mécanique toute l’étendue qu’elle peut avoir sont les valeurs initiales des variables, ainsi que celles de leurs différences premières, c’est-à-dire les valeurs de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ et de ${\frac {d\xi }{dt}},\,{\frac {d\psi }{dt}},\,{\frac {d\varphi }{dt}},\,\ldots ,$ lorsque $t=0\,;$ ces valeurs sont donc, dans les expressions de $\xi ,\psi ,\varphi ,\ldots$ que nous avons adoptées $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\ldots ,\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\ldots .$ Or, $\mathrm {T}$ étant une fonction donnée de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ et de $\xi '={\frac {d\xi }{dt}},\,\psi '={\frac {d\psi }{dt}},\,\varphi '={\frac {d\varphi }{dt}},\,\ldots ,$ il est clair qu’en faisant $t=0$ dans les fonctions ${\frac {d\mathrm {T} }{d\xi '}},\,{\frac {d\mathrm {T} }{d\psi '}},\,{\frac {d\mathrm {T} }{d\varphi '}},\,\ldots ,$ ce qui les réduit à $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ ces constantes $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots$ seront les mêmes fonctions des constantes $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\ldots ,\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\ldots$ que les fonctions ${\frac {d\mathrm {T} }{d\xi '}},\,{\frac {d\mathrm {T} }{d\psi '}},\,{\frac {d\mathrm {T} }{d\varphi '}},\,\ldots$ le sont des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots ,$ $\xi ',\,\psi ',\,\varphi ',\,\ldots ,$ Par conséquent, au lieu de prendre immédiatement $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\ldots$ pour constantes arbitraires, on peut prendre celles-ci $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ qui en dépendent. Ainsi l’on aura $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',\ldots ,$ $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\ldots ,$ pour les constantes arbitraires des expressions de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots \,;$ et l’on voit que le nombre de ces constantes sera précisément double de celui des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots .$

De cette manière, la différentielle $\Delta \Omega ,$ dans laquelle la caractéristique $\Delta$ ne doit affecter que les constantes arbitraires contenues dans $\Omega ,$ à raison des valeurs de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ qui renferment ces con-