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SECONDE PARTIE. — SECTION V.

Retranchons du second membre de cette équation la quantité

$\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots ,$

qui est nulle en vertu des équations de condition

$\delta \xi =0,\qquad \delta \psi =0,\qquad \delta \varphi =0,\qquad \ldots \,;$

on aura cette formule générale

${\begin{aligned}\Delta \Omega \,dt&=\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad -\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}-\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-\ldots \\&=\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad -\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}-\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}-\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}-\ldots \\\end{aligned}}$

en changeant $\mathrm {Z}$ en $\mathrm {T} ,$ comme dans l’article 7.

On voit que le second membre de l’équation précédente est la même fonction que nous avons vue devoir être indépendante du temps $t$ (art. 7) ; d’où il suit qu’après y avoir substitué les valeurs de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ en fonctions de $t$ et des constantes arbitraires, on pourra y faire $t$ nul ou égal à une valeur quelconque.

12. Donc, si l’on suppose, ce qui est toujours permis, que ces fonctions, ainsi que celles qui représentent les valeurs de ${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}},\,{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}},\ \ldots ,$ soient développées en séries de puissances ascendantes de $t,$ de cette manière

${\begin{aligned}&\xi =\alpha \ +\alpha 't\,+\alpha ''t^{2}+\alpha '''t^{3}+\ldots ,\\&\psi =\beta \ +\beta 't\,+\beta ''t^{2}+\beta '''t^{3}+\ldots ,\\&\varphi =\gamma \ +\gamma 't\,+\gamma ''\,t^{2}+\gamma '''t^{3}+\ldots ,\\&..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}=\lambda \,+\lambda 't+\lambda ''t^{2}+\lambda '''t^{3}+\ldots ,\\&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}=\mu +\mu 't+\mu ''t^{2}+\mu '''t^{3}+\ldots ,\\&{\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}=\nu \,+\nu 't+\nu ''t^{2}\,+\nu '''t^{3}+\ldots ,\\&..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$