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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

valeurs, il est clair que les termes

$d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}dt,\quad d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}dt,\quad d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}dt,\quad \ldots$

se détruiront d’eux-mêmes et pourront, par conséquent, être effacés.

On aura donc simplement, pour la variation des constantes arbitraires, les équations

$\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}={\frac {\partial \Omega }{\partial \xi }}dt,\quad \delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}={\frac {\partial \Omega }{\partial \psi }}dt,\quad \delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}={\frac {\partial \Omega }{\partial \varphi }}dt,\quad \ldots ,$

qu’il faudra combiner avec les équations données ci-dessus

$\delta \xi =0,\qquad \delta \psi =0,\qquad \delta \varphi =0,\qquad \ldots .$

Ces équations, étant en nombre double de celui des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ et, par conséquent, en même nombre que les constantes arbitraires (art. 2), serviront à déterminer toutes ces constantes devenues variables.

11. Les équations qu’on vient de trouver, étant multipliées respectivement par $\Delta \xi ,\,\Delta \psi ,\,\Delta \varphi ,\,\ldots$ et ensuite ajoutées ensemble, donnent

${\begin{aligned}\Delta \xi &\,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\&=\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \xi }}\Delta \xi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \psi }}\Delta \psi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \varphi }}\Delta \varphi +\ldots \right)dt.\end{aligned}}$

Ici $\Delta \xi ,\,\Delta \psi ,\,\Delta \varphi ,\,\ldots$ indiquent, comme dans l’article 4, des différentielles des fonctions $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ prises en faisant varier seulement les constantes arbitraires d’une manière quelconque, soit qu’elles varient toutes en même temps, ou quelques-unes seulement à volonté.

Or, en regardant $\Omega$ comme une fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots ,$ on aura, en différentiant par rapport à $\Delta ,$

$\Delta \Omega ={\frac {\partial \Omega }{\partial \xi }}\Delta \xi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \psi }}\Delta \psi +{\frac {\partial \Omega }{\partial \varphi }}\Delta \varphi +\ldots .$

Donc on aura

$\Delta \Omega \,dt=\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots .$