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SECONDE PARTIE. — SECTION V.

qu’on aura un nombre double d’équations, mais du premier ordre seulement.

10. En employant, comme dans l’article 4, la caractéristique $\delta$ pour désigner les différentielles dues uniquement à la variation des constantes arbitraires, tandis que la caractéristique $d$ ne se rapporte qu’aux différentielles relatives au temps $t,$ les conditions dont nous venons de parler seront exprimées par les équations

$\delta \xi =0,\qquad \delta \psi =0,\qquad \delta \varphi =0,\qquad \ldots ,$

dans lesquelles il faut remarquer que toutes les constantes arbitraires doivent devenir variables à la fois, de sorte que la caractéristique indiquera dans la suite la variation simultanée^[1] de toutes les constantes arbitraires, au lieu que, dans les formules de l’article 4 et suivants, la même caractéristique dénotait en général les différentielles relatives à la variation de toutes les constantes, ou seulement de quelques-unes d’entre elles à volonté, ainsi que l’autre caractéristique $\Delta .$

Donc, en faisant tout varier, les différentielles de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ seront simplement $d\xi ,\,d\psi ,\,d\varphi ,\,\ldots ,$ ou bien $\xi 'dt,\,\psi 'dt,\,\varphi 'dt,\,\ldots ,$ comme si le temps seul variait.

Ainsi, dans les équations de l’article 8, la fonction $\mathrm {Z}$ sera la même, soit que les constantes arbitraires soient censées variables ou non mais, en regardant ces constantes comme variables, les différences $d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}},\,d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}},\,d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}},\,\ldots$ devront être augmentées des termes $\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}},\,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}},\,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}},\,\ldots ,$ dus à la variation des constantes.

D’un autre côté, comme, par l’hypothèse, les fonctions de $t$ et des constantes qui représentent les valeurs de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ satisfont identiquement aux mêmes équations, sans leurs seconds membres, dans le cas où ces constantes ne varient pas, quelles que soient d’ailleurs leurs

1. C’est-à-dire la variation des fonctions qui remplacent ces constantes et qui, dans chaque problème, sont parfaitement déterminées, de telle sorte que leur valeur soit une fonction du temps dont la variation n’a rien d’arbitraire. (J. Bertrand.)