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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

ce qui donne, en ordonnant les termes par rapport aux différences partielles de $\mathrm {Z} ,$ ce développement

${\begin{aligned}\Delta \xi \,\delta &{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}+\ldots +\Delta \xi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi '\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\ldots \\=&+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi ^{2}}}\Delta \xi \,\delta \xi +{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \partial \psi }}(\Delta \xi \,\delta \psi +\Delta \psi \,\delta \xi )+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi ^{2}}}\Delta \psi \,\delta \psi +\ldots \\&+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \partial \xi '}}(\Delta \xi \,\delta \xi '+\Delta \xi '\,\delta \xi )+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi \partial \psi '}}(\Delta \xi \,\delta \psi '+\Delta \psi '\,\delta \xi )+\ldots \\&+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi \partial \xi '}}(\Delta \psi \,\delta \xi '+\Delta \xi '\,\delta \psi )+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi \partial \psi '}}(\Delta \psi \,\delta \psi '+\Delta \psi '\,\delta \psi )+\ldots \\&+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi '^{2}}}\Delta \xi '\delta \xi '+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \xi '\partial \psi '}}(\Delta \xi '\delta \psi '+\Delta \psi '\delta \xi ')+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Z} }{\partial \psi '^{2}}}\Delta \psi '\delta \psi '+\ldots \end{aligned}}$

 

En changeant les caractéristiques $\delta ,\,\Delta$ l’une dans l’autre, on aura le développementde l’expression semblable

$\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}+\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}+\ldots +\delta \xi '\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\delta \psi '\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\ldots .$

Mais on voit que ce changement n’en produit aucun dans le développement précédent ; d’où il suit que les deux expressions sont identiques de sorte que, comme elles se trouvent dans l’équation ci-dessus avec des signes différents, elles doivent s’y détruire.

7. Ainsi l’on aura simplement l’équation

$d\left\{{\begin{aligned}&\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\-&\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}-\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-\ldots \end{aligned}}\right\}=0,$

dans laquelle on peut changer $\mathrm {Z}$ en $\mathrm {T} ,$ puisque $\mathrm {Z=T-V}$ et que $\mathrm {V}$ ne doit point contenir les variables $\xi ',\,\psi ',\,\varphi ',\,\ldots$ (art. 3).

On voit par cette équation que la quantité

${\begin{aligned}&\Delta \xi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}+\Delta \psi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}+\Delta \varphi \,\delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}+\ldots \\-&\delta \xi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \xi '}}-\delta \psi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \psi '}}-\delta \varphi \,\Delta {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial \varphi '}}-\ldots \end{aligned}}$