Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/365

347

SECONDE PARTIE. — SECTION V.

3. Faisons, pour plus de simplicité,

$d\xi =\xi 'dt,\qquad d\psi =\xi 'dt,\qquad d\varphi =\xi 'dt,\qquad \ldots \,;$

la quantité $\mathrm {T}$ deviendra une fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots$ et de $\xi ',\,\psi ',\,\varphi ',\,\ldots \,;$ et si les forces tendent à des centres fixes ou à des corps du même système, la quantité $\mathrm {V}$ sera une simple fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots .$ Dans ce cas, en faisant $\mathrm {Z=T-V} ,$ on aura

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}={\frac {1}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}},\qquad {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}={\frac {1}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}},\qquad {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\varphi }}={\frac {1}{dt}}{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}},\qquad \ldots ,$

où l’on pourra changer la caractéristique $\delta$ en $\partial ,$ puisqu’elle ne sert qu’à représenter des différences partielles.

Ainsi les équations différentiellesdu mouvement du système (art. 10, sect. IV), étant multipliées par $dt,$ se réduiront à cette forme plus simple

${\begin{aligned}&d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}}\,-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi }}dt=0,\\&d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi }}dt=0,\\&d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi '}}-{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \varphi }}dt=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

4. Différentions ces équations par rapport à la caractéristique $\delta$^[1], que nous regarderons comme relative uniquement aux variations des constantes arbitraires qui sont censées contenues dans les expressions des variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ dont $\mathrm {Z}$ est fonction ; et comme la caractéristique $d,$ qui affecte les termes $d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \xi '}},\,d{\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \psi '}},\ldots ,$ n’est relative qu’à la variable $t$ qui représente le temps, on pourra, par les principes du calcul des variations, changer la double caractéristique $\delta d$ en $d\delta \,;$ de

1. On suppose ici que, ces équations ayant été intégrées, on ait substitué aux variables $\xi ,\,\psi ,\,\ldots$ leurs expressions générales fournies par cette intégration. Les équations deviennent alors identiques et l’on peut les différentier par rapport aux diverses lettres qui y figurent. (J. Bertrand.)