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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

tions particulières déduites de cette formule fournissent toujours une équation intégrable, qui est celle de la conservation des forces vives.

Ces équations, considérées dans toute leur généralité, étant chacune de la forme (art. 11)

$d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }}+\lambda {\frac {\delta \mathrm {L} }{\delta \xi }}+\mu {\frac {\delta \mathrm {M} }{\delta \xi }}+\ldots =0,$

si on les ajoute ensemble après les avoir multipliées par les différentielles respectives $d\xi ,\,d\psi ,\ldots$ et qu’on fasse attention que les quantités $\mathrm {V,\,L,\,M} ,\ldots$ sont par l’hypothèse des fonctions algébriques des variables $\xi ,\,\psi ,\ldots$ sans $t,$ il est clair qu’on aura l’équation

$\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}\right)d\xi +\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}\right)d\psi +\ldots +d\mathrm {V} +\lambda \,d\mathrm {L} +\mu \,d\mathrm {M} +\ldots =0\,;$

mais

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,\qquad \ldots$

étant les équations de condition, on aura généralement

$d\mathrm {L} =0,\qquad d\mathrm {M} =0,\qquad \ldots \,;$

par conséquent, l’équation précédente se réduira à

$\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}\right)d\xi +\ldots +d\mathrm {V} =0.$

Or on a

$d\xi \,d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}=d\left({\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d\xi \right)-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d^{2}\xi \,;$

et comme $\mathrm {T}$ est une fonction algébrique des variables $\xi ,\,\psi ,\ldots$ et de leurs différentielles $d\xi ,\,d\psi ,\,\ldots$ sans $t,$ on aura

$d\mathrm {T} ={\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}d\xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d^{2}\xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}d\psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}d^{2}\psi +\ldots \,;$

donc l’équation deviendra

$d\left({\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}d\xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}d\psi +\ldots \right)-d\mathrm {T} +d\mathrm {V} =0,$