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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

expression fort simple, qui ne contient ni sinus ni cosinus de $\varphi ,$ mais seulement sa différentielle $d\varphi .$ De cette manière, la quantité $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ se trouvera changée en $r^{2}d\varphi ^{2}+dr^{2}+dz^{2}.$

On pourrait encore substituer, au lieu de $r$ et $z,$ un nouveau rayon vecteur $\rho$ avec l’angle $\psi$ que ce rayon fait avec $r,$ qui en est la projection ce qui donnerait

$r=\rho \cos \varphi ,\quad z=\rho \sin \psi$

et, par conséquent,

$dr^{2}+dz^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\psi ^{2}\,;$

de sorte que la quantité

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

serait transformée en celle-ci

$\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\psi \,d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+d\rho ^{2}.$

Ici il est clair que $\rho$ sera le rayon mené du centre des coordonnées au point de l’espace où est le corps $\mathrm {m} ,$ $\psi$ sera l’inclinaison de ce rayon sur le plan des $xy$, et $\varphi$ l’angle de la projection de ce rayon sur le même plan avec l’axe des $x\,;$ et l’on aura, comme dans l’article 4 de la Section II, I^re Partie,

$x=\rho \cos \psi \cos \varphi ,\qquad y=\cos \psi \sin \varphi ,\qquad z=\rho \sin \psi .$

Enfin, on pourra employer à volonté d’autres substitutions, et, lorsque le système est composé de plusieurs corps, on pourra les rapporter immédiatement les uns aux autres par des coordonnées relatives les circonstances de chaque problème indiqueront toujours celles qui seront le plus propres. On pourra même, après avoir trouvé, d’après une substitution, une ou quelques-unes des équations du problème, déduire les autres d’autres substitutions ; ce qui fournira de nouveaux moyens de diversifier ces équations, et de trouver les plus simples et les plus faciles à intégrer.

13. Les autres termes des équations dont il s’agit dépendent des forces accélératrices qu’on suppose agir sur les corps et des équations