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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

l’élimination actuelle, on pourra aussi faire usage de la méthode des multiplicateurs, exposée dans la I^re Partie (sect. IV).

Soient

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,\qquad \mathrm {N} =0,\quad \ldots$

les équations dont il s’agit, réduites en fonctions de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ en sorte que $\mathrm {L,\,M,\,N} ,\ldots$ soient des fonctions données de ces variables. On ajoutera au premier membre de la formule générale (article précédent) la quantité

$\lambda \,\delta \mathrm {L} +\mu \,\delta \mathrm {M} +\nu \,\delta \mathrm {N} +\ldots ,$

dans laquelle $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\ldots$ sont des coefficients indéterminés ; et l’on pourra regarder alors les variations $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\,\delta \varphi ,\ldots$ comme indépendantes et arbitraires.

On aura ainsi l’équation générale

$\Xi \delta \xi +\Psi \delta \psi +\Phi \delta \varphi +\ldots +\lambda \,\delta \mathrm {L} +\mu \,\delta \mathrm {M} +\nu \,\delta \mathrm {N} +\ldots =0,$

laquelle, devant être vérifiée indépendamment des variations $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\,\delta \varphi ,\ldots ,$ donnera ces équations particulières pour le mouvement du système

${\begin{aligned}&\Xi +\lambda \mathrm {{\frac {\delta L}{\delta \xi }}+\mu {\frac {\delta M}{\delta \xi }}+\nu {\frac {\delta N}{\delta \xi }}} +\ldots =0,\\&\Psi +\lambda \mathrm {{\frac {\delta L}{\delta \psi }}+\mu {\frac {\delta M}{\delta \psi }}+\nu {\frac {\delta N}{\delta \psi }}} +\ldots =0,\\&\Phi \,+\lambda \mathrm {{\frac {\delta L}{\delta \varphi }}+\mu {\frac {\delta M}{\delta \varphi }}+\nu {\frac {\delta N}{\delta \varphi }}} +\ldots =0,\\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où il faudra ensuite éliminer les inconnues $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\ldots ,$ ce qui diminuera d’autant le nombre des équations ; mais, en y ajoutant les équations de condition qui doivent nécessairement avoir lieu, on aura toujours autant d’équations que de variables.

12. Comme ces équations peuvent avoir différentes formes plus ou moins simples, et surtout plus ou moins propres pour l’intégration, il n’est pas indifférent sous quelle forme elles se présentent d’abord ; et c’est peut-être un des principaux avantages de notre méthode, de