Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/352

334

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Car supposant, comme dans l’article 34 de la Section III,

$d\Pi =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots ,$

on aura $\Pi$ exprimé par une fonction finie de $p,\,q,\,r,\ldots \,;$ par conséquent, on aura aussi

$\delta \Pi =\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots .$

Multipliant par $\mathrm {m}$ et prenant la somme pour tous les corps du système, on aura

_S$\mathrm {m} (\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots )=$_S$\mathrm {m} \,\delta \Pi =\delta$_S$\mathrm {m} \Pi ,$

puisque le signe _S est indépendant du signe $\delta .$

Il n’y aura ainsi qu’à chercher la valeur de la quantité _S$\mathrm {m} \Pi$ en fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots \,;$ ce qui ne demande que la substitution des valeurs de $x,\,y,\,z,\ldots$ en $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ dans les expressions de $p,\,q,\,\ldots$ (I^re Partie, sect. II, art. 1) ; et cette valeur de _S$\mathrm {m} \Pi$ étant nommée $\mathrm {V} ,$ on aura immédiatement

$\delta \mathrm {V} =\mathrm {{\frac {\partial V}{\partial \xi }}\delta \xi +{\frac {\partial V}{\partial \psi }}\delta \psi +{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}\delta \varphi +\ldots .}$

10. De cette manière, la formule générale de la Dynamique (art. 2) sera transformée en celle-ci

$\Xi \,\delta \xi +\Psi \,\delta \psi +\Phi \,\delta \varphi +\ldots =0,$

dans laquelle on aura

${\begin{aligned}\Xi &=d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \xi }},\\\Psi &=d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \psi }},\\\Phi &=d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}+{\frac {\delta \mathrm {V} }{\delta \varphi }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en supposant

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}$_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right),\qquad \mathrm {V} =$_S$\mathrm {m} \Pi$

et

$d\Pi =\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .$