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SECONDE PARTIE. — SECTION IV.

on a

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}={\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }},$

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}={\frac {\delta {\dfrac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }}}{\delta \xi }}d\xi +{\frac {\delta {\dfrac {\partial \mathrm {A} }{\partial \psi }}}{\delta \xi }}d\psi +\ldots ={\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} }{\partial \xi ^{2}}}d\xi +{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} }{\partial \xi \partial \psi }}d\psi +\ldots =d{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }}.$

Donc $d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }},$ coefficients de $\delta \xi ,$ deviendra

$d{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }}-d{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }}=0.$

Il s’ensuit de là que, si l’expression de $\mathrm {T}$ contenait un terme de la forme $\mathrm {B} d\mathrm {A} ,$ $\mathrm {A}$ étant fonction de $\xi ,\,\psi ,\ldots ,$ sans $d\xi ,$ et $\mathrm {B}$ une fonction quelconque sans $\xi ,$ ce terme donnerait simplement, relativement à la variation de $\xi ,$ le terme ${\frac {\delta \mathrm {A} }{\delta \xi }}d\mathrm {B} .$

Car, donnant au terme $\mathrm {B} d\mathrm {A}$ la forme $d(\mathrm {BA} )-\mathrm {A} d\mathrm {B} ,$ on voit d’abord que le terme $d(\mathrm {BA} )$ ne donnerait rien relativement à la variation de $\xi ,$ puisque $\mathrm {AB}$ contient $\xi$ sans $d\xi \,;$ ensuite, comme $d\mathrm {B}$ ne contient point $\xi$ ni $d\xi \,;$ et que $\mathrm {A}$ contient $\xi$ sans $d\xi ,$ on voit qu’en faisant $\mathrm {T} =-\mathrm {A} d\mathrm {B} ,$ on aura

${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}=-{\frac {\delta \mathrm {A} }{\delta \xi }}d\mathrm {B} \,;$

de sorte que le coefficient de $\delta \xi$ se réduira à ${\frac {\delta \mathrm {A} }{\delta \xi }}d\mathrm {B} .$

9. À l’égard de la quantité $\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots ,$ elle est toujours facile à réduire en fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ puisqu’il ne s’agit que d’y réduire séparément les expressions des distances $p,\,q,\,r,\ldots$ et des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots .$ Mais cette opération devient encore plus facile, lorsque les forces sont telles que la somme des moments, c’est-à-dire la quantité

$\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots ,$

est intégrable, ce qui, comme nous l’avons déjà observé, est proprement le cas de la nature.