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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

7. Il résulte de là que, pour avoir la valeur de la quantité

_S$\mathrm {m} \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta z\right)$

en fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ il suffira de chercher la valeur de la quantité

${\frac {1}{2}}$_S$\mathrm {m} \left({\frac {dx^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}\right)$

en fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ et de leurs différentielles ; car, nommant $\mathrm {T}$ cette fonction, on aura sur-le-champ la transformée

$\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\xi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}\right)\delta \xi +\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\psi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}\right)\delta \psi +\left(d{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \,d\varphi }}-{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \varphi }}\right)\delta \varphi +\ldots .$

Et cette transformation aura lieu également quand même, parmi les nouvelles variables, il se trouverait le temps $t,$ pourvu qu’on le regarde comme constant, c’est-à-dire qu’on fasse $\delta t=0.$

De plus, il est facile de voir qu’une pareille transformation aura lieu aussi dans le cas où les variations $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\,\delta \varphi ,\ldots$ ne seraient pas des différentielles exactes, pourvu qu’elles représentent des quantités indéterminées et que la variation $\delta \mathrm {T}$ soit de la forme

$\delta \mathrm {T} ={\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }}\delta \xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{d\,\delta \xi }}d\,\delta \xi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }}\delta \psi +{\frac {\delta \mathrm {T} }{d\,\delta \psi }}d\,\delta \psi +\ldots ,$

quelles que soient d’ailleurs les coefficients ${\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \xi }},\ {\frac {\delta \mathrm {T} }{d\,\delta \xi }},\ {\frac {\delta \mathrm {T} }{\delta \psi }},\ldots .$

8. Au reste, il est bon de remarquer que, si l’expression de $\mathrm {T}$ renferme un terme $d\mathrm {A} ,$ qui soit la différentielle complète d’une fonction $\mathrm {A}$ dans laquelle une des variables, comme $\xi ,$ n’entre que sous la forme finie, ce terme ne donnera rien dans la transformée précédente, relativement à cette variable. Car, faisant

$\mathrm {T} =d\mathrm {A} ={\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \xi }}d\xi +{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \psi }}d\psi +\ldots ,$