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SECONDE PARTIE. — SECTION IV.

mier membre en soit une aussi par rapport à la même caractéristique, et indépendamment de la caractéristique $\delta \,;$ or c’est ce qui ne se peut, parce que les termes de ce premier membre contiennent simplement les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,\ldots ,$ $\delta \xi ,\,\delta \psi ,\,\delta \varphi ,\ldots ,$ et nullement les différentielles de ces variations.

D’où il suit que, pour que l’équation puisse subsister, il faudra nécessairement que les deux membres soient nuls chacun en particulier ce qui donnera ces deux équations identiques

$\mathrm {A} \,\delta x+\mathrm {B} \,\delta y+\mathrm {C} \,\delta z+\ldots =\mathrm {A} '\delta \xi +\mathrm {B} '\delta \psi +\mathrm {C} '\delta \varphi +\ldots ,$

$d\mathrm {Z} =d\mathrm {Z} ',$

lesquelles peuvent être utiles dans différentes occasions.

Soit, par exemple,

$\Phi ={\frac {1}{2}}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right),$

on aura

${\frac {\delta \Phi }{\delta x}}=0,\qquad {\frac {\delta \Phi }{\delta \,dx}}=dx,\qquad {\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}x}}=0,\qquad \ldots ,$

et ainsi des autres quantités semblables ; donc

$\mathrm {A} =-d^{2}x,\qquad \mathrm {B} =-d^{2}y,\qquad \mathrm {C} =-d^{2}z\,;$

ensuite, comme $\Phi$ ne contient que des différences du premier ordre, on aura simplement

${\begin{aligned}\mathrm {A} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }},\\\mathrm {B} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \psi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }},\\\mathrm {C} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \varphi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }},\\\ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc on aura l’équation identique

${\begin{aligned}-d^{2}x\,\delta x-d^{2}y\,\delta y-d^{2}z\,\delta z=&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}\right)\delta \xi \\&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \psi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }}\right)\delta \psi +\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \varphi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }}\right)\delta \varphi +\ldots ,\end{aligned}}$

qui s’accorde avec celle de l’article 5.