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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {A} \ &={\frac {\delta \Phi }{\delta x}}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dx}}+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}x}}-\ldots ,\\\mathrm {B} \ &={\frac {\delta \Phi }{\delta y}}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dy}}+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}y}}-\ldots ,\\\mathrm {C} \ &={\frac {\delta \Phi }{\delta z}}\,-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dz}}+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}z}}-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\mathrm {A} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}\,+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\xi }}-\ldots ,\\\mathrm {B} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \psi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }}+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\psi }}-\ldots ,\\\mathrm {C} '&={\frac {\delta \Phi }{\delta \varphi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }}+d^{2}{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\varphi }}-\ldots ,\\\ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {Z} \ =&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,dx}}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}x}}+\ldots \right)\delta x+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}x}}d\,\delta x+\ldots \\&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,dy}}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}y}}\,+\ldots \right)\delta y+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}y}}d\,\delta y+\ldots \\&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,dz}}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}z}}\,+\ldots \right)\delta z+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}z}}d\,\delta z+\ldots \\&.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\mathrm {Z} '=&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}\,-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\xi }}\,+\ldots \right)\delta \xi \,+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\xi }}d\,\delta \xi +\ldots \\&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\psi }}+\ldots \right)\delta \psi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\psi }}d\,\delta \psi +\ldots \\&+\left({\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }}-d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\varphi }}+\ldots \right)\delta \varphi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\varphi }}d\,\delta \varphi +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}$

Donc, redifférentiant et transposant, on aura l’équation

$\mathrm {A} \,\delta x+\mathrm {B} \,\delta y+\mathrm {C} \,\delta z+\ldots -\mathrm {A} '\delta \xi -\mathrm {B} '\delta \psi -\mathrm {C} '\delta \varphi -\ldots =d\mathrm {Z} '-d\mathrm {Z} ,$

laquelle doit être identique et avoir lieu quelles que soient les variations ou différences marquées par la lettre $\delta .$

Ainsi, puisque le second membre de cette équation est une différentielle exacte par rapport à la caractéristique $d,$ il faudra que le pre-