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SECONDE PARTIE. — SECTION IV.

en dénotant, suivant l’usage, par ${\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}$ le coefficient de $\delta \xi$ dans la différence $\delta \Phi ,$ par ${\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}$ le coefficient de $\delta \,d\xi$ dans la même différence, et ainsi des autres.

6. Ce qu’on vient de trouver d’une manière particulière aurait pu l’être plus simplement et plus généralement par les principes de la méthode des variations.

Soit, en effet, $\Phi$ une fonction quelconque de $x,\,y,\,z,\ldots ,$ $dx,\,dy,\,dz,\ldots ,$ $d^{2}x,\,d^{2}y,\,d^{2}z,\ldots ,$ laquelle devienne une fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots ,$ $d\xi ,\,d\psi ,\,d\varphi ,\ldots ,$ $d^{2}\xi ,\,d^{2}\psi ,\,d^{2}\varphi ,\ldots ,$ par la substitution des valeurs de $x,\,y,\,z,\ldots$ exprimées en $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots \,;$ en différentiant par rapport à $\delta ,$ on aura cette équation identique

${\begin{aligned}\delta \Phi =&+{\frac {\delta \Phi }{\delta x}}\delta x+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dx}}\delta \,dx+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}x}}\delta \,d^{2}x+\ldots \\&+{\frac {\delta \Phi }{\delta y}}\delta y\,+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dy}}\delta \,dy\,+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}y}}\delta \,d^{2}y+\ldots \\&+{\frac {\delta \Phi }{\delta z}}\delta z\ +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,dz}}\delta \,dz\ +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}z}}\delta \,d^{2}z+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\=&+{\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}\delta \xi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \psi }}\delta \psi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \varphi }}\delta \varphi +\ldots \\&+\ {\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}\ \;\delta \,d\xi +\ {\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }}\;\delta \,d\psi \ \ +\;{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }}\;\delta \,d\varphi \;+\ldots \\&+{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\xi }}\delta \,d^{2}\xi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\psi }}\delta \,d^{2}\psi +{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d^{2}\varphi }}\delta \,d^{2}\varphi +\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Qu’on y change les doubles signess $\delta d,\,\delta d^{2},\ldots$ en leurs équivalents $d\delta ,d^{2}\delta ,\ldots \,;$ qu’ensuite on intègre par rapport à $d$ et qu’on fasse disparaître, par des intégrations par parties, tous les doubles signes $d\delta ,d^{2}\delta ,\ldots$ sous le signe intégral $\int$ qui se rapporte au signe différentiel $d\,;$ on aura une équation de cette forme

${\begin{aligned}&\int \left(\mathrm {A} \,\delta x+\mathrm {B} \ \ \delta y+\mathrm {C} \;\delta z\,+\ldots \right)+\mathrm {Z} \\=&\int \left(\mathrm {A} '\delta \xi +\mathrm {B} '\delta \psi +\mathrm {C} '\delta \varphi +\ldots \right)+\mathrm {Z} ',\end{aligned}}$