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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

différentiant ensuite la seconde par $\delta ,$ on aura celle-ci :

${\begin{aligned}\delta \mathrm {F} &\,d\xi ^{2}+2\mathrm {F} \,d\xi \,\delta \,d\xi \\&+2\delta \mathrm {G} \,d\xi \,d\psi +2\mathrm {G} \,d\psi \,\delta \,d\xi +2\mathrm {G} \,d\xi \,\delta \,d\psi \\&+\delta \mathrm {H} \,d\psi ^{2}+2\mathrm {H} \,d\psi \,\delta \,d\psi +\ldots .\end{aligned}}$

Si donc l’on retranche la moitié de cette dernière différentielle de la première, et qu’on observe que $d\delta$ et $\delta d$ sont la même chose, on aura

${\begin{aligned}d&(\mathrm {F} \,d\xi )\delta \xi -{\frac {1}{2}}\delta \mathrm {F} \,d\xi ^{2}\\&+d(\mathrm {G} \,d\xi )\delta \psi +d(\mathrm {G} \,d\psi )-\delta \mathrm {G} \,d\xi \,d\psi \\&+d(\mathrm {H} \,d\psi )\delta \psi -{\frac {1}{2}}\delta \mathrm {H} \,d\psi ^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

pour la valeur transformée de la quantité

$d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z.$

Or il est visible que cette valeur peut se déduire immédiatement de la dernière différentielle, en divisant tous les termes par $2,$ en changeant les signes de ceux qui ne contiennent point la double caractéristique $\delta d,$ et en effaçant dans les autres le $d$ après le $\delta ,$ pour l’appliquer aux quantités qui multiplient les doubles différences affectées de $\delta d.$ Ainsi le terme $\delta \mathrm {F} \,d\xi ^{2}$ donne $-{\frac {1}{2}}\delta \mathrm {F} \,d\xi ^{2},$ le terme $2\mathrm {F} \,d\xi \,\delta \,d\xi$ donnera $d(\mathrm {F} \,d\xi )\delta \xi ,$ le terme $2\delta \mathrm {G} \,d\xi \,d\psi$ donnera $-\delta \mathrm {G} \,d\xi \,d\psi ,$ le terme $2\mathrm {G} \,d\psi \,\delta \,d\xi$ donnera $d(\mathrm {G} \,d\psi )\delta \xi ,$ et ainsi des autres.

5. D’où il s’énsuit que, si l’on désigne par $\Phi$ la fonction de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots$ et de $d\xi ,\,d\psi ,\,d\varphi ,\ldots$ dans laquelle se transforme la quantité

${\frac {1}{2}}\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)$

par la substitution des valeurs de $x,\,y,\,z$ en $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\,\ldots ,$ on aura, en général, cette transformée

${\begin{aligned}d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z=&+\left(-{\frac {\delta \Phi }{\delta \xi }}+d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\xi }}\right)\delta \xi \\&+\left(-{\frac {\delta \Phi }{\delta \psi }}+d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\psi }}\right)\delta \psi +\left(-{\frac {\delta \Phi }{\delta \varphi }}+d{\frac {\delta \Phi }{\delta \,d\varphi }}\right)\delta \varphi +\ldots ,\end{aligned}}$