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SECONDE PARTIE. — SECTION IV.

par laquelle on voit que, pour calculer la quantité proposée

$d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z,$

il suffit de calculer ces deux-ci, qui ne contiennent que des différences premières,

$dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z,\qquad dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

et de différentier ensuite l’une par rapport à $d$ et l’autre par rapport à $\delta .$

4. Supposons donc qu’il s’agisse de substituer à la place des variables $x,\,y,\,z$ des fonctions données d’autres variables $\xi ,\psi ,\varphi ,\ldots \,:$ différentiant ces fonctions, on aura des expressions de la forme

${\begin{aligned}dx=&\mathrm {A} \ \ d\xi +\mathrm {B} \ \ d\psi +\mathrm {C} \ \ d\varphi +\ldots ,\\dy=&\mathrm {A} '\ d\xi +\mathrm {B} '\,d\psi +\mathrm {C} '\ d\varphi +\ldots ,\\dz=&\mathrm {A} ''d\xi +\mathrm {B} ''d\psi +\mathrm {C} ''d\varphi +\ldots ,\end{aligned}}$

dans lesquelles $\mathrm {A,\,A',\,A'',\,B,\,B'} ,\ldots$ seront des fonctions connues des mêmes variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots \,;$ et les valeurs de $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ seront exprimées aussi de la même manière, en changeant seulement $d$ en $\delta .$

Faisant ces substitutions dans la quantité $dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z,$ elle deviendra de cette forme

$\mathrm {F} \,d\xi \,\delta \xi +\mathrm {G} (d\xi \,\delta \psi +d\psi \,\delta \xi )+\mathrm {H} d\psi \,\delta \psi +\mathrm {I} (d\xi \,\delta \varphi +d\varphi \,\delta \xi )+\ldots ,$

où $\mathrm {F,\,G,\,H,\,I} ,\ldots$ seront des fonctions finies de $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,\ldots .$

Donc, changeant $\delta$ en $d,$ on aura aussi la valeur de

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

laquelle sera

$\mathrm {F} \,d\xi ^{2}+2\mathrm {G} \,d\xi \,d\psi +\mathrm {H} d\psi ^{2}+2\mathrm {I} \,d\xi \,d\varphi +\ldots .$

Qu’on différentie par $d$ la première de ces deux quantités, on aura la différentielle

${\begin{aligned}d&(\mathrm {F} \,d\xi )\delta \xi +\mathrm {F} \,d\xi \,d\,\delta \xi \\&+d(\mathrm {G} \,d\xi \,)\delta \psi +d(\mathrm {G} \,d\psi )\delta \xi +\mathrm {G} \,d\xi \,d\,\delta \psi +\mathrm {G} \,d\psi \,\delta \xi \\&+d(\mathrm {H} \,d\psi )\delta \psi +\mathrm {H} \,d\psi \,d\,\delta \psi +\ldots \,;\end{aligned}}$