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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

qui proviennent uniquement des forces résultantes de l’inertie des corps.

La seconde est composée des termes

_S$\mathrm {m} (\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots ),$

dus aux forces accélératrices $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ qu’on suppose agir effectivement sur chaque corps suivant les lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ et qui tendent à diminuer ces lignes. La somme de ces deux quantités, étant égalée à zéro, constitue la formule générale de la Dynamique (sect. II, art. 5).

3. Considérons d’abord la quantité

$d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z\,;$

il est clair que, si l’on y ajoute celle-ci

$dx\,d\,\delta x+dy\,d\,\delta y+dz\,d\,\delta z,$

la somme sera intégrable et aura pour intégrale

$dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z.$

D’où il suit que l’on a

${\begin{aligned}d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z=&d(dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z)\\&-dx\,d\,\delta x-dy\,d\,\delta y-dz\,d\,\delta z.\end{aligned}}$

Or, le double signe $d\delta$ étant équivalent à $\delta d$ par les principes connus, la quantité $dx\,d\,\delta x+dy\,d\,\delta y+dz\,d\,\delta z$ peut se réduire à la forme

$dx\,\delta \,dx+dy\,\delta \,dy+dz\,\delta \,dz,$

c’est-à-dire à

${\frac {1}{2}}\delta \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right).$

Ainsi l’on aura cette réduction

$d^{2}x\,\delta x+d^{2}y\,\delta y+d^{2}z\,\delta z=d(dx\,\delta x+dy\,\delta y+dz\,\delta z)-{\frac {1}{2}}\delta \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right),$