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SECONDE PARTIE. — SECTION III.

par conséquent, l’équation du maximum ou minimum sera

$\int dt$_S$\mathrm {m} \left\{\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots +\left({\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}-\rho {\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}-\rho \cos ^{2}\psi {\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}\right)\delta \rho {\begin{aligned}\\\\\\\\\end{aligned}}\right.$

$\left.+\left[\rho ^{2}\sin \psi \cos \psi {\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\left(\rho ^{2}{\dfrac {d\psi }{dt}}\right)}{dt}}\right]\delta \psi +{\frac {d\left(\cos ^{2}\psi {\dfrac {d\varphi }{dt}}\right)}{dt}}\delta \varphi \right\}=0.$

Égalant à zéro la quantité qui est sous le signe $\int ,$ on aura une équation indéfinie, analogue à celle de l’article précédent, mais qui, au lieu de variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ contiendra les $\delta \rho ,\,\delta \varphi ,\,\delta \psi \,;$ et l’on en tirera les équations nécessaires pour la solution du problème, en réduisant d’abord toutes les variations au plus petit nombre possible et faisant ensuite des équations séparées des termes affectés de chacune des variations restantes.

En employant d’autres indéterminées, on aura des formules différentes, et l’on sera assuré d’avoir toujours, dans chaque cas, les formules les plus simples que la nature des indéterminées puisse comporter. Voir le second Volume des Mémoires de l’Académie de Turin, où l’on a employé cette méthode pour résoudre différents problèmes de Mécanique^[1].

42. Au reste, puisque $ds=u\,dt,$ la formule

_S$\mathrm {m} \int u\,ds,$

qui est un maximum ou un minimum, peut aussi se mettre sous la forme _S$\mathrm {m} \int u^{2}dt,$ ou

$\int dt$_S$\mathrm {m} \,u^{2},$

dans laquelle _S$\mathrm {m} \,u^{2},$ exprime la force vive de tout le système dans un instant quelconque. Ainsi le principe dont il s’agit se réduit proprement à ce que la somme des forces vives instantanées de tous les corps,

1. Voir aussi une Note remarquable d’Olinde Rodrigues ; Correspondance sur l’École Polytechnique, tome III, page 159. (J. Bertrand.)