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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

41. Au lieu des coordonnées $x,\,y,\,z,$ on peut employer d’autres indéterminées quelconques, et tout se réduit à exprimer l’élément de l’arc $ds$ en fonction de ces indéterminées. Qu’on prenne, par exemple, le rayon ou la distance rectiligne à l’origine des coordonnées, qu’on nommera $\rho ,$ avec deux angles, dont l’un $\psi$ soit l’inclinaison de ce rayon sur le plan des $xy$ et l’autre $\varphi$ soit l’angle de la projection du même rayon sur ce plan avec l’axe des $x\,;$ on aura

$z=\rho \sin \psi ,\quad y=\rho \cos \psi \sin \varphi ,\quad x=\rho \cos \psi \cos \varphi ,$

et, de là, on trouvera

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\left(d\psi ^{2}+\cos ^{2}\psi \,d\varphi ^{2}\right),$

expression qu’on pourrait aussi trouver directement par la Géométrie. Différentiant donc par $\delta$ et changeant $\delta d$ en $d\delta ,$ on aura

${\begin{aligned}ds\,\delta \,ds=&d\rho \,d\,\delta \rho +\rho \left(d\psi ^{2}+\cos ^{2}\psi \,d\varphi ^{2}\right)\delta \rho \\&+\rho ^{2}\left(d\psi \,d\,\delta \psi -\sin \psi \cos \psi \,d\varphi ^{2}\delta \psi +\cos ^{2}\psi \,d\varphi \,d\,\delta \varphi \right)\,;\end{aligned}}$

d’où, en divisant par $dt={\frac {ds}{u}}$ et en intégrant, on aura

${\begin{aligned}\int u\,\delta \,ds=&\int dt\left[{\frac {d\rho }{dt}}{\frac {d\,\delta \rho }{dt}}+\rho \left({\frac {d\psi ^{2}}{dt^{2}}}+\cos ^{2}\psi {\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}\right)\delta \rho \right]\\&+\int dt\left(\rho ^{2}{\frac {d\psi }{dt}}{\frac {d\,\delta \psi }{dt}}-\rho ^{2}\sin \psi \cos \psi {\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}\delta \psi +\rho ^{2}\cos ^{2}\psi {\frac {d\varphi }{dt}}{\frac {d\,\delta \varphi }{dt}}\right).\end{aligned}}$

On fera disparaître de dessous le signe $\int$ les doubles signes $d\,\delta$ par des intégrations par parties et l’on rejettera d’abord les termes qui contiendraient des variations hors du signe $\int ,$ parce que ces variations, devant alors se rapporter aux extrémités de l’intégrale, deviennent nulles par la supposition que les premiers et derniers points des courbes décrites par les corps soient donnés et invariables. On aura ainsi cette transformée

$\int u\,\delta ds=-\int du\,\delta s=-\int dt\left\{\left({\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}-\rho {\frac {d\psi ^{2}}{dt^{2}}}-\rho \cos ^{2}\psi {\frac {\varphi ^{2}}{t^{2}}}\right)\delta \rho {\begin{aligned}\\\\\\\\\end{aligned}}\right.$

$\left.+\left[\rho ^{2}\sin \psi \cos \psi {\frac {d\varphi ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\left(\rho ^{2}{\dfrac {d\psi }{dt}}\right)}{dt}}\right]\delta \psi +{\frac {d\left(\cos ^{2}\psi {\dfrac {d\varphi }{dt}}\right)}{dt}}\delta \varphi \right\}\,;$