Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/339

321

SECONDE PARTIE. — SECTION III.

et, supposant que les deux termes de la courbe soient donnés, en sorte que les coordonnées qui répondent au commencement et à la fin de l’intégrale ne varient point, on aura simplement

$\int {\frac {dx}{dt}}d\,\delta x=-\int \delta x\,d{\frac {dx}{dt}}.$

On trouvera de même

$\int {\frac {dy}{dt}}d\,\delta y=-\int \delta y\,d{\frac {dy}{dt}}$

et, pareillement,

$\int {\frac {dz}{dt}}d\,\delta z=-\int \delta z\,d{\frac {dz}{dt}}\,;$

de sorte qu’on aura cette transformée

$\int u\,\delta \,ds=-\int \left(\delta x\,d{\frac {dx}{dt}}+\delta y\,d{\frac {dy}{dt}}+\delta z\,d{\frac {dz}{dt}}\right).$

Donc la quantité

_S$\mathrm {m} \int u\,\delta \,ds$

deviendra, en transposant les signes _S et $\int$ et supposant $dt$ constant,

$-\int dt$_S$\mathrm {m} \left(\delta x\,d{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\delta y\,d{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\delta z\,d{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right).$

L’équation du maximum ou minimum sera donc

$\int dt$_S$\mathrm {m} \left(\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots +{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta z\right)=0,$

laquelle devant avoir lieu, en général, pour toutes les variations possibles, il faudra que la quantité sous le signe $\int$ soit nulle à chaque instant ; on aura ainsi l’équation indéfinie

_S$\mathrm {m} \left(\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots +{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta z\right)=0,$

équation qui est la même chose que la formule générale de la Dynamique (sect. 11, art. 5), et qui donnera par conséquent, comme celle-ci, toutes les équations nécessaires pour la solution du problème.