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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

parce que, $\Pi$ étant supposée une fonction algébrique de $p,\,q,\,r,\ldots$ la différentielle $\delta \Pi$ est la même que $d\Pi ,$ en changeant seulement $d$ en $\delta .$ Ainsi la quantité

_S$\mathrm {m} \int ds\,\delta u$

se réduira à cette forme

$-\int dt$_S $\mathrm {m} (\mathrm {P} \,\delta p+\mathrm {Q} \,\delta q+\mathrm {R} \,\delta r+\ldots ).$

Je considère ensuite l’autre partie

_S$\mathrm {m} \int u\,\delta \,ds,$

et j’y substitue, à la place de $ds,$ sa valeur exprimée par des coordonnées rectangles, ou par d’autres variables quelconques. En employant les coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ on a

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}\,;$

donc, différentiant suivant $\delta ,$

$\delta \,ds={\frac {dx}{ds}}\delta \,dx+{\frac {dy}{ds}}\delta \,dy+{\frac {dz}{ds}}\delta \,dz,$

ou bien, en transposant les signes $d,\,\delta ,$ et écrivant $d\,\delta$ au lieu de $\delta \,d,$ ce qui est toujours permis à cause de l’indépendance de ces signes,

$\delta \,ds={\frac {dx}{ds}}d\,\delta x+{\frac {dy}{ds}}d\,\delta y+{\frac {dz}{ds}}d\,\delta z\,;$

on aura ainsi, en substituant cette valeur et mettant $dt$ à la place de ${\frac {ds}{u}},$

$\int u\,\delta \,ds=\int \left({\frac {dx}{dt}}d\,\delta x+{\frac {dy}{dt}}d\,\delta y+{\frac {dz}{dt}}d\,\delta z\right).$

Comme il se trouve ici, sous le signe intégral $\int ,$ des différentielles des variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ il faut les faire disparaître par l’opération connue des intégrations par parties, suivant les principes de la méthode des variations. On transformera donc la quantité $\int {\frac {dx}{dt}}d\,\delta x$ en celle-ci, qui lui est équivalente,

${\frac {dx}{dt}}\,\delta x-\int \delta x\,d{\frac {dx}{dt}}\,;$